Задача 11.2

2. Условие. Началом «эры Водолея» иногда называют момент, когда точка весеннего равноденствия перейдет в созвездие Водолея. «Эра» наступит в 2597 году. В какой день в настоящее время Меркурий переходит из созвездия Водолея в созвездие Рыб, если он находится при этом в наибольшей западной элонгации и одновременно – в афелии своей орбиты? Орбиту Земли считать круговой, а орбиту Меркурия – лежащей в плоскости эклиптики. (О.С. Угольников)
2. Решение. Эра Водолея наступит через 578 лет. Этот промежуток времени есть (578/25800) = 0.0224 часть от полного периода прецессии. За это время точка весеннего равноденствия сдвинется по эклиптике на λ = (360° · 0.0224) = 8.1°. Эту величину можно также получить, умножив величину годичной прецессии (50.3″) на 578 лет. Таким образом, в настоящее время точка пересечения границы созвездий Водолея и Рыб и линии эклиптики отстоит на угол λ к западу от точки весеннего равноденствия.

Орбита Меркурия имеет большую полуось a=0.3871 а.е. и эксцентриситет e=0.2056. Из этого определим ее угловое расстояние от Солнца в момент наибольшей западной элонгации в афелии:

$$l = \arcsin(a(1+e)) = 27.8^{\circ}$$

Коль скоро элонгация западная, в указанный момент Солнце отстоит от точки весеннего равноденствия к востоку на угол l – λ = 19.7°, то есть весеннее равноденствие уже произошло. Считая орбиту Земли круговой, получаем, что на преодоление такой дуги орбиты (или на преодоление Солнцем такой дуги видимого пути по эклиптике) потребуется время (19.7/360) T = 20 дней (здесь T – продолжительность земного года). Таким образом, наибольшая западная элонгация Меркурия на границе созвездий Водолея и Рыб может наступить через 20 дней после весеннего равноденствия, то есть 9-10 апреля. Очень похожая ситуация наступит в апреле 2019 года. Наибольшая западная элонгация Меркурия наступит 11 апреля вблизи границы созвездий Водолея и Рыб (саму границу планета пересечет чуть позже из-за наклона своей орбиты к эклиптике).

2. Система оценивания. Первым этапом решения задания является определение углового расстояния между точкой эклиптики на границе созвездий Водолея и Рыб и текущим положением точки весеннего равноденствия. Допустимая погрешность этой величины составляет 0.5°, этап оценивается в 2 балла. Далее участники олимпиады должны определить угловое расстояние между Солнцем и Меркурием в момент наибольшей элонгации в афелии либо взять его как известное. Допустимая погрешность также 0.5°, величины 27° и 28°, взятые как известные, также считаются правильными; этап оценивается еще в 2 балла. Если же эксцентриситет орбиты Меркурия не учитывается (и величина элонгации составляет 22°-

23°), данный этап не засчитывается, но дальнейшие этапы в случае их выполнения оцениваются полностью.

Последующие два этапа могут выполняться последовательно (вычисление углового расстояния между Солнцем и точкой весеннего равноденствия, затем определение даты), и в этом случае они оцениваются по 2 балла. Если при вычислении углового расстояния допускается ошибка (берется сумма углов, определенных ранее, вместо их разности, неправильно определяется направление относительно точки весеннего равноденствия), оба этапа не засчитываются, максимальная оценка за все задание составляет 4 балла. Участники могут определять дату прохождения Солнцем границы созвездий (12-13 марта), затем формулировать ответ. В этом случае также выставляется по 2 балла за этап. Точность ответа должна быть не хуже 1 дня.

№ 11.2Задача 11.2