№ 9.4Задача 9.4
- 4. Условие. Планета обращается вокруг звезды по круговой орбите с периодом ровно 10 лет, в ее небе звезда имеет угловой диаметр ровно 10' (десять угловых минут). Найдите среднюю плотность звезды. (О.С. Угольников)
- 4. Решение. Пусть масса звезды равна M, расстояние от звезды до планеты L. Тогда период обращения по круговой орбите с первой космической скоростью $\nu$ составит
$$T = \frac{2\pi L}{v} = \frac{2\pi L^{3/2}}{\sqrt{GM}}$$
Решение
Видимый угловой диаметр звезды $\delta$ равен 2R/L радиан, где R — радиус звезды. Тогда L= $2R/\delta$ . Учтем это и выразим массу звезды через ее радиус и плотность $\rho$ :
$$T = \frac{4\sqrt{2}\pi R^{3/2}}{\delta^{3/2}\sqrt{4\pi G\rho R^3/3}} = \frac{2\sqrt{6\pi}}{\delta^{3/2}\sqrt{G\rho}}.$$
Отсюда находим плотность звезды:
$$ρ = \frac{24π}{GT^2δ^3} = 470 \text{ kg/m}^3.$$
-
- Система оценивания. Основными этапами решения являются:
-
- Связь периода обращения планеты с массой звезды и расстоянием до нее (через первую космическую скорость или III закон Кеплера) -2 балла. При численных ошибках в коэффициентах данный этап не засчитывается полностью, но это не влияет на оценки за другие этапы. При ошибках в размерности этап не засчитывается полностью, а другие этапы засчитываются не более, чем на 50%.
-
- Формулировка (или прямое использование в дальнейших выкладках) связи углового диаметра звезды с пространственным радиусом и расстоянием до нее. Этап оценивается в 2 балла. В случае ошибок (в частности, подстановки диаметра вместо радиуса) этап не засчитывается, но последующие оцениваются в полной мере.
-
- Подстановка связи плотности звезды с ее массой и радиусом -2 балла. При численных ошибках в коэффициентах этап не засчитывается, но другие оцениваются в полной мере.
- Вычисление плотности звезды − 2 балла. Требуемая точность − 20% без учета ошибок, сделанных на предыдущих этапах.
Возможен иной способ выполнения решения, который предусматривает использование простой формулировки III закона Кеплера, чтобы из периода обращения планеты с заданным угловым диаметром звезды получить значение периода обращения вдоль поверхности звезды, предполагая такое движение возможным. Такой период получается равным 4.9 часа. Данная операция эквивалентна выполнению первых двух этапов приведенного выше решения, всего 4 балла. Далее участники могут вывести или применить как известную формулу связи плотности центрального тела и времени его облета по низкой круговой орбите (2 балла) и, наконец, определить плотность звезды (2 балла).
Участники могут выполнять решение не в абсолютном виде, а сравнивая звезду с Солнцем, а планету − с Землей. В этом случае возможно определить плотность звезды сначала в единицах плотности Солнца, а затем и абсолютную величину плотности. Подобный метод при условии корректного выполнения засчитывается. Похожий способ решения состоит в указании, что период обращения планеты определяется исключительно средней плотностью пространства в сфере, ограниченной ее орбитой, вне зависимости от массы звезды. Далее участники могут предположить, что масса звезды равна массе Солнца, и определить, что Солнце с орбиты с периодом в 10 лет (радиус 4.64 а.е.) имело бы угловой диаметр 6.9′. Таким образом, плотность звезды равна плотности Солнца, умноженной на фактор (6.9/10)3 , что приводит нас к правильному ответу. При наличии обоснований такой способ решения также является верным.