Требования к графику: Построение проводятся на выданной вам миллиметровой бумаге. Масштаб по обеим осям составляет 10 угловых минут на миллиметр (малое деление на миллиметровой бумаге). Текущее положение звезд обозначайте кружком (•) и подпишите соответствующей греческой буквой справа, прошлое — крестиком (+) и соответствующей буквой слева. Направление вверх на графике должно совпадать с современным направлением на Северный полюс мира.

6. Решение. Созвездие Орла — экваториальное, в чем можно убедиться по координатам его звезд. Вблизи небесного экватора координатную сетку можно считать прямоугольной. Тогда изменения координат будут происходить линейно:

$$\alpha = \alpha_0 + \mu_{\alpha} \cdot t / cos \delta_0;$$

$$\delta = \delta_0 + \mu_{\delta} \cdot t;$$

Здесь μα и μδ – собственные движения соответственно по прямому восхождению и склонению. Они могут быть получены из полного собственного движения μ и позиционного угла γ:

$$\mu_{\alpha} = \mu \cdot \sin \gamma;$$

$$\mu_{\delta} = \mu \cdot \cos \gamma.$$

Здесь отражено, что позиционный угол отсчитывается от направления на север (μα=0, μδ>0) против вращения часовой стрелки (в область μα>0). Мы рассматриваем область около небесного экватора в декартовой системе, полагая cos δ0 = 1. Вычисляя эти величины и умножая их на (–40000 лет), мы определяем координаты звезд в заданную эпоху, но в современной координатной сетке, не учитывая прецессию. Важно, что собственные движения даны в угловых секундах в год, а прямые восхождения – в часовых единицах, необходим пересчет величин. Результаты наносим на график.

Для вычисления углового расстояния между звездами α и β Орла с заданной в условии точностью построения на графике недостаточно. Вычислим их координаты на исторический момент времени:

40000 тысяч лет назад угловое расстояние между звездами было равно

$$l = \sqrt{\left[ (19427.2M - 19453.6M) \cdot 15^{\circ} / 4 \right]^{2} + (4^{\circ}31' - 11^{\circ}46')^{2}} = 9.8^{\circ}.$$

Здесь мы вновь опустили фактор (cosδ0) при вычислении компоненты расстояния по прямому восхождению. Тот же ответ с точностью до 0.1° мы можем получить при более точных вычислениях с учетом фактора (1/cosδ0) в формуле для α и фактора (cosδ0) в формуле для l или с использованием формул сферической тригонометрии.

Система оценивания. Задача состоит из двух подзадач: построение графика (6 баллов) и проведение вычислений (4 балла). Каждая подзадача оценивается независимо: снижение оценки за недостатки выполнения каждой подзадачи не должны влиять на оценку за другую подзадачу. Итоговая оценка за задачу является суммой оценок за подзадачи, максимальная оценка за задание 6 составляет 10 баллов.

Положение звезд на графике должно совпадать с точностью до 3 мм. Правильное положение каждой звезды оценивается в 0.5 балла. Дробная суммарная оценка округляется в пользу

участника олимпиады. Таким образом, за правильное текущее положение звезд выставляется 3 балла и за положение в прошлом – еще 3 балла.

Если перепутаны обозначения звезд (кружки и крестики), или все звезды обозначались одним и тем же образом, оценка за построение графика снижается на 2 балла. Если не обозначены оси или никак не размечены шкалы на них, оценка за построение графика снижается на 2 балла. Если ось прямых восхождений или склонений направлена в противоположную сторону, оценка за построение снижается на 2 балла. Если в итоге получается отрицательная оценка, за этап выставляется 0 баллов. Если график выполнен не в нужном масштабе или вообще не на миллиметровке, построение не оценивается.

На втором этапе решения вычисление координат звезд в прошлом по правильным формулам оценивается в 1 балл. За правильную формулу для вычисления расстояния между звездами выставляется 1 балл. Участники могут использовать приближенные формулы для окрестностей экватора, приведенные выше. Можно производить вычисления более точно, например, с учетом фактора (cosδ0). При этом он попадает в знаменатель при расчете смещения звезды по прямому восхождению, но затем – в числитель при расчете углового расстояния, данные факторы практически компенсируют друг друга. Возможно использование формул сферической тригонометрии, хотя для данной задачи они не являются необходимыми. Вычисление расстояния между звездами α и β в прошлом оценивается в 2 балла, если ответ составляет от 9.7° до 9.9°. Если ответ не попадает в этот интервал, но остается в пределах от 9.3° до 10.3°, оценка снижается на 1 балл.

Если координаты звезд α и β численно не определяются, а ответ получен измерениями на графике (даже при его случайной точности), то за весь этап решения выставляется 1 балл из 4.