№ 10.4Задача 10.4
- 4. Условие. Переменная звезда пульсирует так, что температура поверхности меняется обратно пропорционально радиусу звезды. Во сколько раз должен уменьшиться объем звезды, чтобы она стала ярче на $1^{m}$ ? (О.С. Угольников)
- 4. Решение. Пусть в какой-то момент времени звезда имела радиус R и температуру T. Затем ее радиус стал меньше в K раз (R/K), а температура в соответствии с условием задачи возросла в K раз и стала равной KT. Тогда светимость звезды, пропорциональная $R^2$ и $T^4$ , изменится:
$$\frac{L_2}{L_1} = \frac{(R/K)^2 (KT)^4}{R^2 T^4} = K^2.$$
Решение
Чтобы блеск звезды стал ярче на 1m, она должна стать ярче в 100.4=2.512 раз. То есть, ее радиус должен уменьшиться в 100.2 раза, а объем – в 100.6 = 4 раза.
4. Система оценивания.
1 этап – 5 баллов. Указание правильного характера зависимости светимости звезды от ее радиуса (или сразу объема) и температуры. Этап засчитывается полностью только при правильном характере зависимости (двух верных показателях степени), при ошибке в одном из показателей за этап выставляется 2 балла. Ошибочное выполнение этапа не сказывается на оценках за следующие этапы.
2 этап – 3 балла. Вычисление изменения объема. Участники могут делать это напрямую, а могут сначала определить изменение радиуса (2 балла), а затем перейти к объему (1 балл). Если участник определяет только изменение радиуса, забывая об изменении объема, последний 1 балл не выставляется. Ответы «уменьшение в 4 раза» или «изменение в 0.25 раз» считаются в равной степени верными.
Ответ
Чтобы блеск звезды стал ярче на 1m, она должна стать ярче в 100.4=2.512 раз. То есть, ее радиус должен уменьшиться в 100.2 раза, а объем – в 100.6 = 4 раза.