• 3. Решение. Земля движется по орбите вокруг Солнца с круговой скоростью

$$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{a}} \approx 30 \text{ km/c}.$$

Здесь M — масса Солнца, a — радиус орбиты Земли. Метеоры движутся навстречу Земле, перпендикулярно направлению на Солнце. Их гелиоцентрическая скорость метеоров на параболической орбите равна

$$v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{a}} \approx 42 \text{ km/c}.$$

Таким образом, геоцентрическая скорость метеоров v составляет $v_1+v_2=72$ км/с. В описанном в условии пункте Земли радиант потока находится в зените, то есть метеоры летят параллельно линии, идущей из этого пункта в центр Земли. Они ускоряются притяжением Земли, но весьма незначительно, так как вторая космическая скорость для Земли (11 км/с) существенно меньше. Скорости складываются аналогично теореме Пифагора, и результирующий эффект составит менее 1 км/с.

Если метеор наблюдается на достаточно большой высоте h над горизонтом, то его угловую скорость можно найти, пренебрегая кривизной Земли. Тангенциальная скорость метеора равна $v \cos h$ , а расстояние до него — $H/\sin h$ , где H есть высота метеора. Видимая угловая скорость метеора будет равна

$$\omega = \frac{v \sin h \cos h}{H} = \frac{v \sin 2h}{2H}.$$

Если высота h равна 45°, то угловая скорость метеора есть v/2H, что равно 0.36 рад/с или 21°/с. Можно обратить внимание, что это максимальная угловая скорость метеоров при радианте, расположенном в зените. Для малых высот метеоров над горизонтом подобная простая модель неприменима. Если метеор виден у самого горизонта, то его скорость перпендикулярна лучу зрения и тангенциальная скорость равна v. Расстояние до метеора равно

$$L = \sqrt{(R+H)^2 - R^2} \approx \sqrt{2RH} = 1130$$ км.

Угловая скорость метеора на горизонте составит

$$\omega_{\rm H} = \frac{v}{\sqrt{2RH}} = 0.064 \text{ рад/c} = 3.7 \,^{\circ}/\text{c}.$$

Система оценивания. Выше приведено наиболее простое и при этом достаточное по точности решение задания. Участники могут выполнять решение более сложным образом, что не влияет на оценку, если усложнение не приводит к появлению ошибок.

1 этап решения — определение геоцентрической скорости метеоров — 2 балла. Оценивается только в случае правильного значения — 72 км/с с точностью до 1 км/с (при учете притяжения Земли скорость составит 73 км/с, что также считается верным значением). Участник может не записывать численное значение скорости, продолжая решение в общем виде, тогда оценка определяется правильностью формул для вычисления скорости. Если участник получает неверное значение или путает геоцентрическую скорость с гелиоцентрической (42 км/с), то данные 2 балла не выставляются, но последующие этапы оцениваются в полной мере. В последнем случае в качестве ответов должны быть получены значения угловых скоростей $12^{\circ}$ /с и $2.1^{\circ}$ /с.

Участники олимпиады могут пытаться учитывать вклад осевого вращения Земли. Оно имеет скорость не более 0.46 км/с и в указанной точке будет перпендикулярно геоцентрической скорости метеоров. Тем самым, оно никак не скажется на видимой скорости метеоров, в чем можно убедиться из теоремы Пифагора. Правильный учет осевого вращения Земли или вывод о его несущественности не изменяет оценку за этап, при существенном изменении скорости за счет этого эффекта оценка снижается в соответствии с критериями, описанными выше. То же можно сказать о приращении скорости метеоров за счет притяжения Земли.

2 этап решения — 3 балла — определение угловой скорости метеора на высоте $45^{\circ}$ над горизонтом. Ее можно вычислять с учетом сферичности Земли, что практически не повлияет на ответ (разница порядка $0.1^{\circ}/c$ ). Требуемая точность — $1^{\circ}/c$ , при ошибке до $3^{\circ}/c$ оценка снижается на 1 балл, при больших ошибках этап не засчитывается (ошибки на предыдущем этапе здесь не учитываются). Если ответ записывается в других единицах (например, в радианах в секунду) - оценка уменьшается на 1 балл, так как требуемые единицы указаны в условии.

3 этап решения — 3 балла — определение угловой скорости метеора на горизонте. Расстояние до метеора L может определяться как приближенно, так и точно, что не влияет на ответ в пределах требуемой точности — $0.5^{\circ}/c$ . При ошибке до $1^{\circ}/c$ оценка снижается на 1 балл, при больших ошибках этап не засчитывается. Если ответ записывается в других единицах (например, в радианах в секунду) — оценка уменьшается на 1 балл, аналогично второму этапу.