ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

9.3 В ожидании максимума

Автор: В. Б. Игнатьев

Астрономия9 класс2025ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_4eecf931535dee4e ID p_0b3be3cecdcc9370
Предложить исправление

23 сентября для наблюдателя в Гринвиче ( φ = 51.5 ∘ \varphi = 51.5^{\circ} , λ = 0 h 00 m \lambda = 0^{\rm h}\,00^{\rm m} ) Церера взошла в 17 h 30 m 17^{\rm h}\,30^{\rm m} . На сколько звездных величин блеск Цереры меньше максимально возможного? Через сколько суток она достигнет максимума блеска?

Орбиты Цереры и Земли считать круговыми и лежащими в одной плоскости. Радиус орбиты Цереры a = 2.77 a . e . a=2.77\,\mathrm{a.\,e.} Поглощением в атмосфере Земли, рефракцией, уравнением времени и суточным параллаксом пренебречь.

Решение

Показать решение

Решение.

Наблюдатель находится в Гринвиче, где гражданское (поясное) время при принятых нами допущениях совпадает с местным (и средним) солнечным. В день наблюдения в 18h 00m Солнце, находящееся в точке осеннего равноденствия, заходит за горизонт в точке запада, а в точке востока оказывается точка весеннего равноденствия ↑ (рис. 6).

Рис. 6: Вид на точку востока в 18:00

Церера взошла в 17h 30m, когда точка ↑ еще находилась под горизонтом на глубине (рис. 7)

h = 0.5 h cos φ = 7.5 ∘ cos φ ≈ 4.7 ∘ . h = 0.5^{\rm h} \cos \varphi = 7.5^{\circ} \cos \varphi \approx 4.7^{\circ}.

Добавим к рисунку 7 эклиптику, которая проходит через точку Υ \Upsilon и располагается под углом ε \varepsilon к небесному экватору. Церера находится одновременно на эклиптике и на горизонте, поэтому угловое расстояние от точки Υ \Upsilon до Цереры составляет

L = h cos ( φ + ε ) = 7.5 ∘ cos φ cos ( φ + ε ) ≈ 18 ∘ . L = \frac{h}{\cos(\varphi + \varepsilon)} = \frac{7.5^{\circ} \cos \varphi}{\cos(\varphi + \varepsilon)} \approx 18^{\circ}.

Нарисуем орбиты Земли и Цереры, как они были бы видны из северного полюса эклиптики (рис. 8). Радиусы этих орбит обозначим a ⊕ a_{\oplus} и a соответственно. Напомним, что точка весеннего равноденствия в противостоянии к Солнцу, поэтому угол Υ \Upsilon — Земля — Церера — это уже

Рис. 7: Вид на точку востока в 17:30

Рис. 8: Вид из полюса эклиптики

найденный нами угол . Угол Земля — Церера — Солнце обозначим как . В астрономии его часто называют фазовым углом. Угол Земля — Солнце — Церера обозначим .

Запишем теорему синусов для треугольника Солнце — Земля — Церера:

a sin ( 180 ∘ − L ) = a ⊕ sin β . \frac{a}{\sin(180^\circ - L)} = \frac{a_{\oplus}}{\sin \beta}.

Выразим угол β \beta :

β = arcsin ( a ⊕ a sin ( 180 ∘ − L ) ) = arcsin ( a ⊕ a sin L ) = arcsin ( 1 2.77 sin 18 ∘ ) ≈ 6.4 ∘ . \beta = \arcsin\left(\frac{a_{\oplus}}{a}\sin(180^{\circ} - L)\right) = \arcsin\left(\frac{a_{\oplus}}{a}\sin L\right) = \arcsin\left(\frac{1}{2.77}\sin 18^{\circ}\right) \approx 6.4^{\circ}.

Угол γ \gamma при Солнце можно найти из суммы углов треугольника.

γ = L − β = 11.6 ∘ . \gamma = L - \beta = 11.6^{\circ}.

По теореме косинусов можно определить расстояние от Земли до Цереры.

R = a ⊕ 2 + a 2 − 2 a ⊕ a cos γ = 1.8 a . e . R = \sqrt{a_\oplus^2 + a^2 - 2a_\oplus a\cos\gamma} = 1.8\,\mathrm{a.\,e.}

В случае круговых орбит, максимальный блеск Церера будет иметь на минимальном к Земле расстоянии, то есть в противостоянии. В этот момент фаза карликовой планеты будет равна единице. Обратим внимание, что в момент восхода фаза Цереры будет равна Φ = 1 + cos β 2 ≈ 0.997 \Phi = \frac{1+\cos\beta}{2} \approx 0.997 , то есть настолько близка к единице, что разница возникает в третьем знаке. Таким отличием от единицы можно смело пренебречь.

Запишем формулу Погсона, сравнив звездные величины Цереры в противостоянии и рассматриваемый момент задачи.

m max − m = − 2.5 lg R 2 ( a − a ⊕ ) 2 = − 5 lg R a − a ⊕ ≈ 0.04 m . m_{\text{max}} - m = -2.5 \lg \frac{R^2}{(a - a_{\oplus})^2} = -5 \lg \frac{R}{a - a_{\oplus}} \approx 0.04^{\text{m}}.

Осталось ответить на последний вопрос задачи, через какое время у Цереры будет максимальный блеск, или, что то же самое, она будет в противостоянии. Вернемся к рисунку 8. Если смотреть из северного полюса эклиптики, то планеты двигаются против часовой стрелки. Угловая скорость Цереры меньше угловой скорости Земли, а поскольку она находится восточнее Солнца, то она недавно была в противостоянии. Синодический период Цереры

S = T ⋅ T ⊕ T − T ⊕ = a 1.5 a 1.5 − 1 ≈ 1.28  года S = \frac{T \cdot T_{\oplus}}{T - T_{\oplus}} = \frac{a^{1.5}}{a^{1.5} - 1} \approx 1.28 \text{ года}

Церера была в противостоянии t = S γ / 360 ∘ ≈ 0.04 t = S\gamma/360^\circ \approx 0.04 года назад, и снова окажется там спустя Δ t = S − t = 1.24 \Delta t = S - t = 1.24 года ≈ 452 \approx 452 сут.

Критерии

Показать критерии
Kprитерии оценивания.15
K1.Угловое расстояние L L между Υ \Upsilon и Церерой4
K2.Расстояние между Церерой и Землей в момент наблюдения4
K3.Разность звездных величин3
Если не рассмотрен вопрос с фазой, то -1.
K4.Синодический период2
Вычисление времени до следующего противостояния