ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

11.2 Потенциальная задача

Автор: А.В.Веселова

Астрономия11 класс2026ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_30e0763c148cbd7c ID p_267991845b2b522d
Предложить исправление

Эллиптическая галактика обладает сферической симметрией, а ее гравитационный потенциал задается выражением

U ( r ) = − G M r + c , U(r) = -\frac{GM}{r+c},

где M — полная масса галактики, c = 1 кпк. Известно, что на круговой орбите радиуса 8 кпк скорость равна 180 км/с.

  • A. Определите полную массу галактики.

  • B. Представим, что с расстояния R на центр галактики с нулевой начальной скоростью радиально падает частица. Чему будет равна ее скорость, когда она достигнет центра галактики? Вычислите эту скорость для случая R = 10 c.

  • C. Пусть звезда движется по близкой к круговой орбите радиуса r0 = 8 кпк; δr(t), δθ(t) — отклонения в плоскости орбиты по радиусу и по азимуту. Оцените период колебаний звезды вдоль радиуса галактики.

  • D. Определите, при каких значениях r0 круговая орбита звезды радиуса r0 является устойчивой.

Решение

Показать решение

Решение.

A. Определим зависимость круговой скорости от расстояния до центра галактики. Для этого на круговой орбите приравняем гравитационное ускорение и центростремительное и учитывая, что сила связана с производной потенциала по расстоянию:

G M ( r + c ) 2 = V 2 r . \frac{GM}{(r+c)^2} = \frac{V^2}{r} \,.

Орбита плоская, расстояние от центра галактики равно галактоосевому расстоянию: мы просто можем рассматривать плоскость орбиты как плоскость симметрии потенциала.

Получаем выражение для массы:

M = V 2 ( r + c ) 2 G r = ( 1.8 ⋅ 10 5 m / c ) 2 ( 9 ⋅ 3.1 ⋅ 10 19 m ) 2 6.67 ⋅ 10 − 11 m 3 / c 2 / k g ⋅ 8 ⋅ 3.1 ⋅ 10 19 m = 1.5 ⋅ 10 41 k g = 7.6 ⋅ 10 10 M ⊙ . M = \frac{V^2(r+c)^2}{Gr} = \frac{(1.8 \cdot 10^5 \,\mathrm{m/c})^2 (9 \cdot 3.1 \cdot 10^{19} \,\mathrm{m})^2}{6.67 \cdot 10^{-11} \,\mathrm{m}^3/\mathrm{c}^2/\mathrm{kg} \cdot 8 \cdot 3.1 \cdot 10^{19} \,\mathrm{m}} = 1.5 \cdot 10^{41} \,\mathrm{kg} = 7.6 \cdot 10^{10} M_{\odot} \,.

B. Рассмотрим прямолинейное падение с нулевой начальной скоростью с r(0) = R, r(t) → 0. Энергия в расчете на единицу массы составляет

E = r ˙ 2 2 + U ( r ) = U ( R ) = − G M R + c . E = \frac{\dot{r}^2}{2} + U(r) = U(R) = -\frac{GM}{R+c}.

Скорость падения

r ˙ = − 2 ( E − U ( r ) ) = − 2 G M ( 1 r + c − 1 R + c ) . \dot{r} = -\sqrt{2\left(E - U(r)\right)} = -\sqrt{2GM\left(\frac{1}{r+c} - \frac{1}{R+c}\right)}.

В центре галактики скорость составит

| r ˙ ( 0 ) | = 2 G M ( 1 c − 1 R + c ) . |\dot{r}(0)| = \sqrt{2GM\left(\frac{1}{c} - \frac{1}{R+c}\right)}.

При R = 10c:

| r ˙ ( 0 ) | = 2 G M ( 1 c − 1 10 c + c ) = 2 G M ⋅ 10 11 c = 7.7 ⋅ 10 2 k m / c . |\dot{r}(0)| = \sqrt{2GM\left(\frac{1}{c} - \frac{1}{10c + c}\right)} = \sqrt{2GM \cdot \frac{10}{11c}} = 7.7 \cdot 10^2 \,\mathrm{km/c}.

С. Запишем уравнения движения в плоскости орбиты для начальной круговой орбиты радиуса r 0 r_0 :

{ d 2 r d t 2 = − d U d r | r 0 + V 2 r 0 , d θ d t = ω 0 . \begin{cases} \frac{d^2r}{dt^2} = -\frac{dU}{dr}\Big|_{r_0} + \frac{V^2}{r_0}, \\ \frac{d\theta}{dt} = \omega_0. \end{cases}

В сферически-симметричном потенциале момент импульса J, равный V r 0 Vr_0 , сохраняется, используем это для записи соотношения для отклонения по радиусу на близкой к круговой орбите.

d 2 ( r 0 + δ r ) d t 2 = − d U d r | r 0 + δ r + J 2 ( r 0 + δ r ) 3 , \frac{d^2(r_0 + \delta r)}{dt^2} = -\frac{dU}{dr}\Big|_{r_0 + \delta r} + \frac{J^2}{(r_0 + \delta r)^3},

используем приближение d U d r | r 0 + δ r = d U d r | r 0 + d 2 U d r 2 | r 0 ⋅ δ r \frac{dU}{dr}\Big|_{r_0+\delta r} = \frac{dU}{dr}\Big|_{r_0} + \frac{d^2U}{dr^2}\Big|_{r_0} \cdot \delta r :

d 2 r 0 d t 2 + d 2 δ r d t 2 ≈ − d U d r | r 0 − d 2 U d r 2 | r 0 ⋅ δ r + J 2 r 0 3 ⋅ ( 1 − 3 δ r r 0 ) . \frac{d^2r_0}{dt^2} + \frac{d^2\delta r}{dt^2} \approx -\frac{dU}{dr}\Big|_{r_0} - \frac{d^2U}{dr^2}\Big|_{r_0} \cdot \delta r + \frac{J^2}{r_0^3} \cdot \left(1 - 3\frac{\delta r}{r_0}\right).

Вычтем первое уравнение системы круговой орбиты из полученного соотношения, останется выражение

d 2 δ r d t 2 ≈ − d 2 U d r 2 | r 0 ⋅ δ r − 3 J 2 r 0 4 ⋅ δ r ⇒ d 2 δ r d t 2 + ( d 2 U d r 2 | r 0 + 3 J 2 r 0 4 ) ⋅ δ r = 0. \frac{d^2\delta r}{dt^2} \approx -\frac{d^2U}{dr^2}\Big|_{r_0} \cdot \delta r - 3\frac{J^2}{r_0^4} \cdot \delta r \quad \Rightarrow \quad \frac{d^2\delta r}{dt^2} + \left(\frac{d^2U}{dr^2}\Big|_{r_0} + 3\frac{J^2}{r_0^4}\right) \cdot \delta r = 0.

Это уравнение колебаний, коэффициент перед δ r \delta r — квадрат частоты ω \omega . Вычислим вторую производную:

d 2 U d r 2 | r 0 = d 2 d r 2 ( − G M r + c ) = − 2 G M ( r + c ) 3 . \left. \frac{d^2U}{dr^2} \right|_{r_0} = \frac{d^2}{dr^2} \left( -\frac{GM}{r+c} \right) = -\frac{2GM}{(r+c)^3}.

Далее, выразим J через производную потенциала:

J = V r 0 = G M r 0 ( r 0 + c ) 2 ⋅ r 0 J = Vr_0 = \sqrt{\frac{GMr_0}{(r_0 + c)^2}} \cdot r_0

и соберем выражение для квадрата частоты:

ω 2 = − 2 G M ( r 0 + c ) 3 + 3 G M r 0 ( r 0 + c ) 2 = G M ⋅ r 0 + 3 c r 0 ( r 0 + c ) 3 = G M ( r 0 + c ) 3 ⋅ ( 1 + 3 c r 0 ) . \omega^2 = -\frac{2GM}{(r_0 + c)^3} + 3\frac{GM}{r_0(r_0 + c)^2} = GM \cdot \frac{r_0 + 3c}{r_0(r_0 + c)^3} = \frac{GM}{(r_0 + c)^3} \cdot \left(1 + \frac{3c}{r_0}\right).

Подставим численные значения:

ω 2 = 6.67 ⋅ 10 − 11 m 3 / c 2 / k r ⋅ 1.5 ⋅ 10 41 k r ( 9 ⋅ 3.1 ⋅ 10 19 m ) 3 ⋅ ( 1 + 3 ⋅ 1 8 ) = 6.3 ⋅ 10 − 31 / c 2 , \omega^2 = \frac{6.67 \cdot 10^{-11} \,\mathrm{m}^3/\mathrm{c}^2/\mathrm{kr} \cdot 1.5 \cdot 10^{41} \,\mathrm{kr}}{(9 \cdot 3.1 \cdot 10^{19} \,\mathrm{m})^3} \cdot \left(1 + \frac{3 \cdot 1}{8}\right) = 6.3 \cdot 10^{-31}/\mathrm{c}^2,
ω = 8 ⋅ 10 − 16 / c ⇒ T = 2 π ω = 7.9 ⋅ 10 15  c = 2.5 ⋅ 10 8  лет. \omega = 8 \cdot 10^{-16} / \text{c} \Rightarrow T = \frac{2\pi}{\omega} = 7.9 \cdot 10^{15} \text{ c} = 2.5 \cdot 10^8 \text{ лет.}

Эффективный потенциал в случае вращения имеет вид

U eff ( r ) = U ( r ) + J 2 2 r 2 = − G M r + c + J 2 2 r 2 . U_{\text{eff}}(r) = U(r) + \frac{J^2}{2r^2} = -\frac{GM}{r+c} + \frac{J^2}{2r^2}.

На круговой орбите радиуса r0 силы уравновешивают друг друга, из чего следует

U ' eff ( r 0 ) = 0 ⇒ G M ( r 0 + c ) 2 = J 2 r 0 3 ⇒ J 2 = G M r 0 3 ( r 0 + c ) 2 . U'_{\text{eff}}(r_0) = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{GM}{(r_0 + c)^2} = \frac{J^2}{r_0^3} \quad \Rightarrow \quad J^2 = \frac{GMr_0^3}{(r_0 + c)^2}.

Определим условие, при котором круговая орбита будет устойчивой: она должна соответствовать «локальной потенциальной яме», при этом U ′′ eff(r0) > 0. Вторая производная имеет вид

U eff ″ ( r ) = − 2 G M ( r + c ) 3 + 3 J 2 r 4 . U_{\text{eff}}''(r) = -\frac{2GM}{(r+c)^3} + \frac{3J^2}{r^4}.

Для круговой орбиты

U eff ″ ( r 0 ) = − 2 G M ( r 0 + c ) 3 + 3 r 0 4 ⋅ G M r 0 3 ( r 0 + c ) 2 = U_{\text{eff}}''(r_0) = -\frac{2GM}{(r_0 + c)^3} + \frac{3}{r_0^4} \cdot \frac{GMr_0^3}{(r_0 + c)^2} =
= G M ( − 2 ( r 0 + c ) 3 + 3 r 0 ( r 0 + c ) 2 ) = G M ( r 0 + c ) 2 ( − 2 r 0 + c + 3 r 0 ) . = GM\left(-\frac{2}{(r_0 + c)^3} + \frac{3}{r_0(r_0 + c)^2}\right) = \frac{GM}{(r_0 + c)^2}\left(-\frac{2}{r_0 + c} + \frac{3}{r_0}\right).

Для выполнения условия устойчивости нужно выполнение неравенства

− 2 r 0 + c + 3 r 0 > 0 ⇒ 3 r 0 > 2 r 0 + c ⇒ 3 ( r 0 + c ) > 2 r 0 ⇒ r 0 + 3 c > 0. -\frac{2}{r_0+c} + \frac{3}{r_0} > 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{r_0} > \frac{2}{r_0+c} \quad \Rightarrow \quad 3(r_0+c) > 2r_0 \quad \Rightarrow \quad r_0+3c > 0.

Так как r0 > 0 и c > 0, неравенство выполняется всегда.

Таким образом, в выбранном потенциале все круговые орбиты устойчивы.

Критерии

Показать критерии
К1.Определение массы галактики4
Связь круговой скорости и производной от потенциала2
Вычисление верного значения массы в любых подходящих единицах2
К2.Оценка скорости в центре галактики
3
Запись верного закона сохранения энергии1
Получение верной формулы для скорости в центре галактики1
Вычисление верного значения скорости в любых подходящих единицах1
К3.Оценка периода колебаний
4
Верная запись уравнений движения в цилиндрической системе координат
1
Верная запись уравнений для движения по близкой к круговой орбите
1
Вывод частоты или периода колебаний через параметры потенциала1
Вычисление верного значения периода в любых подходящих единицах1
К4.Анализ устойчивости круговых орбит
4
Вывод о необходимости нахождения в потенциальной яме1
Вывод формулы для второй производной с учетом эффективного потенциала2
Верный вывод об устойчивости всех круговых орбит
1
Допустимо ссылаться на результаты пункта
C, явно указав, что положительность
квадрата
частоты
колебаний
достигается
для
всех
круговых
орбит
и
радиальное
смещение приводит к ограниченным по амплитуде колебаниям. Обоснованное решение
такого вида оценивается полным баллом за данный критерий.
Максимальная оценка:15