ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

СПУТНИК СОЛНЦА

Автор: О.С. Угольников

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2013ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_e53b0be3b1a67178 ID p_350b3f7a6b3ce0fc
Предложить исправление

Предположим, у Солнца появилась звезда-спутник малой массы, которая в небе Земли светит как звезда − 10 m -10^{\rm m} , а средние угловые размеры у нее такие же, как у Урана. Какова эффективная температура этой звезды? Чему равен период ее обращения, если известно, что ее светимость в 100 раз меньше, чем светимость Солнца? Орбита звезды круговая.

Решение

Показать решение

Звезда − 10 m -10^{\rm m} светит в 5· 10 6 10^6 раз слабее Солнца. Средний угловой радиус Урана есть отношение его пространственного радиуса к расстоянию до Солнца, он равен 1.8", что в 530 раз меньше видимого радиуса Солнца. По закону Стефана-Больцмана светимость звезды B равна 4 π σ R 2 T 4 4\pi\sigma R^2T^4 , где R и T – радиус и температура звезды. Энергетический поток от звезды на расстоянии L равен

J = B 4 π L 2 = σ T 4 R 2 L 2 = σ T 4 ρ 2 , J = \frac{B}{4\pi L^2} = \frac{\sigma T^4 R^2}{L^2} = \sigma T^4 \rho^2,

где ρ \rho — видимый радиус звезды. Сравнивая звезду-спутник с Солнцем (поток J 0 J_0 , температура T 0 T_0 , видимый радиус ρ 0 \rho_0 ), получаем выражение для температуры:

T = T 0 ( J J 0 ) 1 / 4 ( ρ 0 ρ ) 1 / 2 . T = T_0 \left(\frac{J}{J_0}\right)^{1/4} \left(\frac{\rho_0}{\rho}\right)^{1/2}.

Эффективная температура звезды равна 2800 К. Учитывая, что светимость звезды B составляет одну сотую от светимости Солнца B 0 B_0 , получаем среднее расстояние до этой звезды:

L = L 0 ( J 0 J ) 1 / 2 ( B B 0 ) 1 / 2 . L = L_0 \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/2} \left(\frac{B}{B_0}\right)^{1/2}.

Здесь L 0 L_0 – расстояние от Земли до Солнца (астрономическая единица). Подставляя численные данные, получаем 220 а.е. По условию задачи масса звезды невелика, и ее орбитальный период можно определить из упрощенного III закона Кеплера, сравнивая ее орбиту с земной:

τ = τ 0 ( L L 0 ) 3 / 2 . \tau = \tau_0 \left(\frac{L}{L_0}\right)^{3/2}.

Орбитальный период звезды составляет 3300 лет.