ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 2

Астрономия11 класс2024ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_edit_p_350cea4f5f838bec_4 ID p_350cea4f5f838bec
Предложить исправление

В момент максимума активности метеорного потока его радиант наблюдается на эклиптике в 90 ∘ 90^{\circ} от Солнца и смещается по ходу периода активности вдоль эклиптики с угловой скоростью ω \omega (она считается положительной, если радиант движется в том же направлении, что и Солнце, и отрицательной при встречном движении). Определите характерную большую полуось орбит метеорных частиц, считая, что метеорный рой компактен, и все его частицы имеют одинаковую гелиоцентрическую долготу перигелия. Орбиту Земли считать круговой с радиусом R 0 R_0 , масса Солнца равна M, взаимодействие частиц с Землей и осевое вращение Земли не учитывать.

Решение

Показать решение

В условии задачи не сказано, с какой стороны от Солнца располагался радиант. Тем не менее, мы можем сделать вывод, что геоцентрическая скорость метеоров в момент максимума перпендикулярна линии Солнце-Земля. Следовательно, гелиоцентрическая скорость метеоров в центре роя, равная векторной сумме геоцентрической скорости и скорости движения Земли, также перпендикулярна линии Солнце-Земля, и в момент максимума Земля оказывается на долготе перигелия или на долготе афелия орбиты, общей для всех частиц роя.

Так как нам неизвестно, находятся ли частицы в перигелии либо в афелии, обозначим через e эксцентриситет их орбит, но будем считать его положительным, если встреча произошла в перигелии и отрицательным для случая афелия. Расстояние Земли от Солнца обозначим как R 0 R_0 . Тогда искомая большая полуось орбиты метеорных тел (тех, что попали в центр роя и встретились с Землей в максимуме) и их скорость равны

a = R 0 1 − e ; v = G M R 0 ( 1 + e ) = v 0 1 + e . a = \frac{R_0}{1 - e}; \quad v = \sqrt{\frac{GM}{R_0}(1 + e)} = v_0 \sqrt{1 + e}.

Здесь v 0 v_0 — орбитальная скорость Земли. Рассмотрим момент времени, отстоящий от максимума на очень малый промежуток времени t. Земля сместится по орбите на угол α = ω 0 t \alpha = \omega_0 t , где ω 0 = v 0 / R 0 \omega_0 = v_0/R_0 — угловая скорость Земли. На такой же угол повернется вектор скорости Земли 𝐯 0 \mathbf{v}_0 . В этот момент она будет встречаться с другими частицами роя с несколько иным перигелийным (либо афелийным) расстоянием.

Нам надо выяснить направление вектора скорости этих метеоров 𝐯 \mathbf{v} , не забывая, что они могут двигаться как навстречу Земле, так и в ту же сторону. Это можно сделать, используя уравнение эллипса в полярных координатах, однако мы можем поступить проще, избавляя себя от громоздких выкладок. Учтем, что рой компактен, величина t очень мала, и мы находимся вблизи точки перигелия либо афелия орбиты частиц. На рой действует сила притяжения Солнца. Создаваемое ей ускорение связано с мгновенным радиусом кривизны траектории R C R_{\rm C} известным соотношением

g = G M R 0 2 = v 2 R C = v 0 2 ( 1 + e ) R C . g = \frac{GM}{R_0^2} = \frac{v^2}{R_C} = \frac{v_0^2(1+e)}{R_C}.

Отсюда мы получаем выражение для радиуса кривизны:

R C = v 0 2 ( 1 + e ) R 0 2 G M = R 0 ( 1 + e ) . R_{\rm C} = \frac{v_0^2 (1+e) R_0^2}{GM} = R_0 (1+e).

На коротких масштабах мы можем считать траекторию метеорных тел окружностью с радиусом R C R_{\rm C} , центр которой смещен относительно Солнца (см. рисунок). Тогда через время t вектор скорости метеорных тел, с которыми будет встречаться Земля, повернется на малый угол

β = R 0 ⋅ ω 0 t R C = α 1 + e . \beta = \frac{R_0 \cdot \omega_0 t}{R_C} = \frac{\alpha}{1 + e}.

Обратим внимание, что мы не знаем направления движения частиц. Будем считать, что их скорость ν \nu положительна, если они движутся в одну сторону с Землей и отрицательна, если они движутся навстречу Земле. Определим направление геоцентрической скорости метеоров.

Выберем систему координат, ось x которой направлена в сторону движения Земли в момент максимума потока. Через малое время t она будет образовывать с этой осью малый угол α \alpha , а скорость метеорных частиц — малый угол β \beta . Ввиду малости этих углов проекция геоцентрической скорости частиц на ось x остается равной

u X = ± v − v 0 = v 0 ⋅ ( ± 1 + e − 1 ) . u_{\rm X} = \pm v - v_0 = v_0 \cdot (\pm \sqrt{1 + e} - 1).

Обратим внимание, что при e ≠ 0 e\neq 0 эта проекция не может быть нулевой. Знаки «+» и «-» здесь соответствуют сонаправленному и встречному движению частиц по отношению к Земле. Проекция геоцентрической скорости на ось y есть

u Y = ± v ⋅ β − v 0 ⋅ α = v 0 ⋅ α ⋅ ( ± 1 + e 1 + e − 1 ) . u_{Y} = \pm v \cdot \beta - v_{0} \cdot \alpha = v_{0} \cdot \alpha \cdot (\pm \frac{\sqrt{1+e}}{1+e} - 1).

Если величина u X u_{\rm X} положительна, то угол поворота геоцентрической скорости метеоров за время t есть

γ = u Y u X = α ⋅ ± 1 + e 1 + e − 1 ± 1 + e − 1 = α 1 + e ⋅ ± 1 + e − ( 1 + e ) ± 1 + e − 1 = α 1 + e ⋅ ( ∓ 1 + e ) = ∓ α 1 + e . \gamma = \frac{u_{Y}}{u_{X}} = \alpha \cdot \frac{\pm \frac{\sqrt{1+e}}{1+e} - 1}{\pm \sqrt{1+e} - 1} = \frac{\alpha}{1+e} \cdot \frac{\pm \sqrt{1+e} - (1+e)}{\pm \sqrt{1+e} - 1} = \frac{\alpha}{1+e} \cdot (\mp \sqrt{1+e}) = \frac{\mp \alpha}{\sqrt{1+e}}.

Если же величина u X u_{\rm X} отрицательна, то угол поворота составит

γ = − u Y u X = ± α 1 + e . \gamma = \frac{-u_{\rm Y}}{u_{\rm X}} = \frac{\pm \alpha}{\sqrt{1+e}}.

Отсюда мы находим угловую скорость движения радианта для всех возможных случаев:

ω = γ t = ± ω 0 1 + e . \omega = \frac{\gamma}{t} = \frac{\pm \omega_0}{\sqrt{1 + e}}.

Нас не интересует, в каком случае эта угловая скорость будет положительной, а в каком отрицательной, так как нам нужно найти эксцентриситет, а он не зависит от знака угловой скорости:

e = ω 0 2 ω 2 − 1. e = \frac{\omega_0^2}{\omega^2} - 1.

Вспомним, что величину e мы считали положительной для случая перигелия и отрицательной для случая афелия. Нам остается взять выражение для большой полуоси орбиты и записать окончательный ответ:

a = R 0 1 − e = R 0 2 − ( ω 0 / ω ) 2 = R 0 2 − G M R 0 3 ω 2 = R 0 4 2 R 0 3 − G M / ω 2 . a = \frac{R_0}{1 - e} = \frac{R_0}{2 - (\omega_0 / \omega)^2} = \frac{R_0}{2 - \frac{GM}{R_0^3 \omega^2}} = \frac{R_0^4}{2R_0^3 - GM / \omega^2}.

Обратим внимание на интересный факт — полученное соотношение напоминает выражение для большой полуоси в зависимости от угловой скорости движения тела в перигелии либо афелии, но там выражение ( ω / ω 0 ) 2 (\omega/\omega_0)^2 в знаменателе стояло бы в обратном виде. Для параболической орбиты (e=1) угловая скорость движения в перигелии есть ω 0 ⋅ 2 \omega_0 \cdot \sqrt{2} , а для геоцентрической угловой скорости радианта метеоров мы получаем ω 0 / 2 \omega_0/\sqrt{2} . Если мы представим себе очень быстрые метеорные потоки на гиперболических орбитах, то в этом случае угловая скорость движения радианта была бы меньше, чем для эллиптических орбит.

Если орбита метеорных тел близка к круговой с a = R 0 a = R_0 и e = 0, то скорости метеоров будут поворачиваться вместе с Землей, что соответствует ω = ω 0 \omega = \omega_0 . Максимальной скорость движения радианта была бы для гипотетического потока, для которого положение Земли совпадало с афелием орбиты, а дальше метеорные тела просто падали на Солнце.

Примечателен симметричный вид картины относительно направления движения частиц. Если представить себе два метеорных потока с идентичными орбитами в плоскости эклиптики и разным направлением движения, то у этих потоков существенно различались бы геоцентрические скорости, но вот движение радианта происходило бы с одинаковыми по модулю и разными по направлению угловыми скоростями.

2. Система оценивания. Оценка за решение образуется из двух составляющих – качество решения и качество ответа (6 и 4 балла соответственно). Ошибка, сделанная на каком-либо этапе решения (часть 1) не влияет на оценки за другие этапы решения, но может сказаться на оценке за часть 2, если она приводит к ошибке в ответе. Максимальная оценка за все решение составляет 10 баллов.