9.6 Восточный экспресс

Закрыть

Рис. 5: Решение №1. Прямой запуск, = 3, = 0. Оптимальное по времени решение задачи: ∆ ≈ 10.9 ч, конечная долгота 54.5 ^∘ в. д.

Решение.

Будем решать задачу в системе отсчета центра Земли.

Этап 1. Определение времен всех маневров.

Определим период обращения спутника на опорной круговой орбите.

Теперь рассмотрим промежуточную эллиптическую орбиту. Определим афелийное расстояние на этой орбите:

Отметим, что в качестве периода обращения Земли для расчетов геоцентрической орбиты нужно подставлять звездные сутки, не 24 часа, а 23^ℎ5604 = 86164 .

Большая полуось эллиптической орбиты находится как

Период обращения аппарата на этой орбите составляет

Этап 2. Расчеты долгот. За некоторое время ∆ Земля повернется на угол

Но при этом спутник сделает нецелое число витков вокруг центра Земли.

Переход между опорной и промежуточной орбитами осуществляется в точке в экваториальной плоскости Земли, а начальная точка по условию является самой северной точкой орбиты. Поэтому на опорной орбите спутник может сделать целое число витков n (n=0,1,2...) и либо $\frac{1}{4}$ , либо $\frac{3}{4}$ оборота. За один оборот спутника на этой орбите Земля провернется под ним на угол $22.4^{\circ}$ .

На промежуточной эллиптической орбите период спутника равен $T_2=37\,925$ секунд, что соответствует повороту Земли на $158.5^\circ$ . Для выхода на геостационарную орбиту спутнику на промежуточной орбите необходимо сделать полуцелое число оборотов $k+\frac{1}{2}$ . Где k=0,1,2...

Этап 3. Последовательность маневров.

Выработаем последовательность маневров для вывода спутника на долготу Уфы. Для решения этой задачи расчеты разумнее производить через углы поворота, а не через время. Но в конце решения надо будет проверить, чтобы итоговое время оказалось менее 48 часов.

Рассмотрим случай, когда на первой орбите спутник сделает $n+\frac{1}{4}$ витков.

Тогда после всех маневров спутник сделает

и спутник окажется на долготе $\lambda$ при старте с долготы $\lambda_0$ :

Упростим выражение, оставив только целочисленные переменные n и k:

Подставим значения $\lambda$ и $\lambda_0$ :

Упростим:

здесь M – целое число оборотов Земли.

В случае, если мы рассматриваем на первой орбите $n+\frac{3}{4}$ оборота перед переходом на вторую эллиптичную орбиту, то выражение будет иметь вид

Теперь надо подобрать целые числа n и k, при которых равенство выполняется.

Составим таблицу угла смещения для различных n и k:

и сравним полученные значение с искомыми.

По вертикальной оси n — целое число витков на первой орбите, по горизонтальной оси k — целое число витков на второй орбите. Для стратегии с $n+\frac{1}{4}$ нас интересуют значения угла поворота $257.45^{\circ}$ или $257.45^{\circ}+360^{\circ}$ , а для стратегии $n+\frac{3}{4}$ — значение $66.25^{\circ}$ .

Из таблицы видим, что первый сценарий реализовать не получится, а второй реализуется при n=3 и k=0. Проверим, сколько времени потребуется для реализации всех маневров.

Альтернативные решения.

Найденная пара $n=3,\ k=0$ является оптимальной по времени перехода, однако не единственной. Если продолжить таблицу значений $f(\lambda)$ из стратегии $n+\frac{3}{4}$ на большие значения n (т.е. рассматривать варианты, в которых правая часть равенства (2) обходит лишние $360^\circ$ за счёт дополнительных оборотов Земли), обнаруживаются ещё два попадания в окрестность Уфы $-n=19,\ k=0$ и $n=12,\ k=1.$ В обоих случаях суммарное время составляет около 34.9 часа, то есть формальным условиям варианты удовлетворяют.

Кроме того, условие задачи фиксирует наклонение опорной орбиты ( $i=51.88^\circ$ , поскольку космодром Восточный — самая северная её точка), но не задаёт направление обращения спутника. При запуске «против вращения Земли» (по ретроградной орбите) положения восходящего и нисходящего узлов в инерциальной системе меняются местами, и формулы (1) и (2) переходят друг в друга с заменой знака. Перебор показывает, что в коридоре $\pm 3^\circ$ от Уфы и в пределах 48 часов реализуются ещё три ретроградных решения — $n=11,\ k=0,\ n=4,\ k=1$ (около 22.9 часа), а также $n=27,\ k=0$ (около 46.9 часа).

Сводная таблица всех найденных в рамках условий задачи решений приведена ниже. Оптимальным остаётся прямой запуск $n=3,\ k=0$ – наименьшее время и наиболее реалистичный по энергозатратам вариант.