ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 1

Автор: О.С. Угольников

АстрономияРегиональный11 класс2017Есть решение редакция rv_164a0f8d2f9bd65f ID p_6f0b901fb67924ef
Предложить исправление

Солнечные часы состоят из вертикального шеста высотой 4 м и плоского горизонтального циферблата. В какой-то момент тень от шеста двигалась по циферблату с угловой скоростью ровно 1 градус в минуту. На каких широтах на Земле это могло быть? Какая при этом могла быть максимальная длина тени? Угловыми размерами Солнца пренебречь.

Решение

Показать решение

Так как шест вертикальный, а тень фиксируется на горизонтальной плоскости, то ее угловая скорость есть скорость изменения азимута Солнца. Эта скорость оказывается, как минимум, в 4 раза большей угловой скорости суточного движения Солнца – последняя равна 0.25 градуса в минуту в моменты равноденствий и еще несколько меньше в солнцестояния. Описанная в условии картина может быть, если Солнце располагается недалеко от зенита. Рассмотрим проекцию небесной сферы единичного радиуса на горизонтальную плоскость (рисунок):

Обозначим угловую скорость Солнца в дни равноденствий (15° в час или 0.25° в минуту) как ω 0 \omega_0 . За малый промежуток времени Δ t \Delta t Солнце пройдет на рисунке отрезок

Δ l ≤ ω 0 cos δ Δ t . \Delta l \leq \omega_0 \cos \delta \Delta t.

Здесь δ \delta – склонение Солнца. Равенство будет достигаться в момент кульминации Солнца. За это время тень повернется на малый угол (рисунок):

Δ A ≤ Δ l sin z ≤ ω 0 cos δ Δ t sin z . \Delta A \le \frac{\Delta l}{\sin z} \le \frac{\omega_0 \cos \delta \Delta t}{\sin z}.

Здесь z — зенитное расстояние Солнца. Равенство вновь достигается в момент кульминации Солнца. Из условия задачи нам известна величина угловой скорости тени:

Ω = Δ A Δ t ≤ ω 0 cos δ sin z . \Omega = \frac{\Delta A}{\Delta t} \le \frac{\omega_0 \cos \delta}{\sin z}.

Отсюда мы получаем ограничение на зенитное расстояние:

sin z ≤ ω 0 cos δ Ω = cos δ 4 . \sin z \le \frac{\omega_0 \cos \delta}{\Omega} = \frac{\cos \delta}{4}.

Если дело происходит в равноденствие, то зенитное расстояние Солнца не больше arcsin(1/4)=14.5°. Чтобы определить максимальную широту, нам нужно рассмотреть случай

солнцестояния, когда склонение Солнца по модулю достигает величины є (23.4°). Максимальная (по модулю) широта, на которой может выполняться данное условие, равна

ϕ MAX = ε + arcsin ( cos ε 4 ) = 36.7 ∘ . \phi_{\text{MAX}} = \varepsilon + \arcsin\left(\frac{\cos \varepsilon}{4}\right) = 36.7^{\circ}.

Картина может наблюдаться на широтах от − 36.7 ∘ -36.7^{\circ} до + 36.7 ∘ +36.7^{\circ} . Для длины тени выполняется выражение:

L = H operatorname t g z ≤ H ω 0 2 cos 2 δ Ω 2 − ω 0 2 cos 2 δ ≤ H ω 0 2 Ω 2 − ω 0 2 = 1.03  m . L = H \operatorname{tg} z \le H \sqrt{\frac{\omega_0^2 \cos^2 \delta}{\Omega^2 - \omega_0^2 \cos^2 \delta}} \le H \sqrt{\frac{\omega_0^2}{\Omega^2 - \omega_0^2}} = 1.03 \text{ m}.

1. Система оценивания. Для решения задачи участники олимпиады должны сформулировать условие задачи в виде ограничения на зенитное расстояние Солнца. Данный этап оценивается в 4 балла. Если при этом участники олимпиады не учитывают множитель cos δ \cos \delta , принимая его равным единице, оценка за этот этап не изменяется. Если вместо синуса зенитного расстояния берется оно само в радианной мере, оценка также не изменяется. Однако, подобные ошибки являются основанием для снижения оценки за последующую часть решения — см. ниже.

Далее необходимо получить ограничение на модуль широты, которое оценивается в 2 балла. Еще 2 балла выставляется за нахождение длины тени. При этом участник олимпиады может учесть, что угол z мал и sin z ∼ operatorname t g z ∼ z \sin z \sim \operatorname{tg} z \sim z . Это допущение, а также округление ответа до 1 м не является обоснованием для снижения оценки. Однако, если участник олимпиады не учитывает множитель cos δ \cos \delta и получает максимальную широту 37.9°, оценка снижается на 1 балл.

Если участник олимпиады указал, что Солнце должно располагаться на большой высоте, но при этом этапов решения не выполнил, ему выставляется итоговый 1 балл.