ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 2

АстрономияРегиональный11 класс2024Есть решение редакция rv_58bec1b15d827642 ID p_7bff257ba93f751d
Предложить исправление

С Земли стартует космический аппарат (КА), который собирается изучить Венеру и Юпитер. Вначале КА отправляется к Венере по энергетически выгодной орбите, далее изучает ее минимум 2 земных года. После этого он должен отправиться к Юпитеру по энергетически выгодной орбите. На момент старта для наблюдателя с Земли Юпитер находится в соединении с Солнцем. Найдите:

    1. Время, которое КА должен будет провести рядом с Венерой, прежде чем стартовать на Юпитер;
    1. Через какое время после старта с Земли КА окажется на Юпитере.

Все орбиты планет считать круговыми и лежащими в одной плоскости ( A . A . A в т а е в а ) (A.A.\ Aвтаева) .

Решение

Показать решение

КА полетит по гомановской орбите, как по самой энергетически выгодной. Значит в момент прилета КА в перигелии этой орбиты должна оказаться Венера. Найдем время движения по орбите (половина орбитального периода) в годах:

t 1 = 1 2 ( a E + a V 2 ) 3 / 2 . t_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{a_{\rm E} + a_{\rm V}}{2} \right)^{3/2}.

Здесь a E a_{\rm E} и a V a_{\rm V} – радиусы орбит Земли и Венеры в астрономических единицах. Мы получаем, что перелет длится 0.399 лет. К его окончанию Венера оказалась на той же долготе, что Юпитер в момент старта. Сам же Юпитер за это время сместился по орбите на угол

α 1 = 360 ∘ ⋅ t 1 / T J = 12.1 ∘ . \alpha_1 = 360^{\circ} \cdot t_1/T_J = 12.1^{\circ}.

Здесь T J T_{\rm J} – орбитальный период Юпитера. Найдем, сколько времени КА должен лететь до Юпитера:

t 3 = 1 2 ( a V + a J 2 ) 3 / 2 . t_3 = \frac{1}{2} \left( \frac{a_{\rm V} + a_{\rm J}}{2} \right)^{3/2}.

Мы получаем 2.550 лет. За это время Юпитер пройдет по своей орбите дугу 360 ∘ ⋅ t 3 / T J = 77.4 ∘ 360^{\circ} \cdot t_3/T_J = 77.4^{\circ} . Таким образом, в момент старта с Венеры Юпитер должен опережать ее в движении по орбите на угол α 2 = 180 ∘ − 77.4 ∘ = 103.6 ∘ \alpha_2 = 180^{\circ} - 77.4^{\circ} = 103.6^{\circ} .

22

С ходом времени разница гелиоцентрических долгот Юпитера и Венеры уменьшается, завершая полный круг за один синодический период Юпитера на Венере, равный

S = T v T J T I − T v = 0.648  лет . S = \frac{T_{\rm v}T_{\rm J}}{T_{\rm I} - T_{\rm v}} = 0.648 \text{ лет .}

С момента прибытия на Венеру до отправления с нее должно пройти время

t 2 = S N ⋅ 360 ∘ + ( α 1 − α 2 ) 360 ∘ . t_2 = S \frac{N \cdot 360^{\circ} + (\alpha_1 - \alpha_2)}{360^{\circ}}.

Здесь N — натуральное число. По условию задачи, промежуток t 2 t_2 должен быть не меньше 2 земных лет. Мы видим, что минимальное число N, удовлетворяющее этому условию, равно 4 (аппарат проведет на Венере неполных 4 синодических периодов Юпитера), и тогда величина t 2 t_2 равна 2.427 лет. Полное время миссии есть

T = t 1 + t 2 + t 3 = 5.376  года. T = t_1 + t_2 + t_3 = 5.376 \text{ года.}