ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 1

Автор: А.А. Автаева

АстрономияРегиональный11 класс2024Есть решение редакция rv_bab64ee45b91e78b ID p_90e3206fd56c672d
Предложить исправление

Два человека решили отправиться в кругосветное путешествие. Они начали его из одной точки на экваторе Земли. Первый путешественник отправился вдоль экватора, а второй вначале сместился вдоль меридиана до некоторой параллели с ненулевой широтой, сделал оборот вокруг Земли по ней и вернулся по тому же меридиану в начальную точку путешествия. Там он встретился с первым путешественником, завершившим свой один оборот в тот же момент. Определите широту, до которой сместился второй путешественник. Считайте, что скорость путешественников по поверхности Земли постоянна и одинакова, Землю считать сферической

Решение

Показать решение

Длина пути первого путешественника равна 2 π R 2\pi R , где R радиус Земли. Длина пути второго путешественника есть

L = 2 R φ + 2 π R cos φ . L = 2R\varphi + 2\pi R\cos\varphi.

Здесь ϕ \phi – модуль широты, до которой сместился этот путешественник и по которой он сделал оборот по поверхности Земли, выраженный в радианах. Приравнивая длины путей и сокращая на 2R, мы получаем уравнение:

φ + π cos φ = π . \varphi + \pi \cos \varphi = \pi.

Это трансцендентное уравнение можно решить численным подбором, однако существует способ получить довольно точное решение аналитически. Можно видеть, что искомая широта не очень велика. Действительно, если бы второй путешественник сместился в область полюса Земли, его путь был бы вдвое короче пути первого путешественника. Запишем приближенное выражение для косинуса малого угла:

cos ϕ ≈ 1 − ϕ 2 / 2. \cos \, \phi \approx 1 - \phi^2/2.

Тогда мы получаем уравнение для некоторого приближенного значения модуля широты ϕ 1 \phi_1 :

φ 1 + π − π φ 1 2 2 = π . \varphi_1 + \pi - \frac{\pi \varphi_1^2}{2} = \pi.

Мы знаем, что искомая широта не равна нулю, и получаем ϕ 1 = 2 / π = 0.637 \phi_1 = 2/\pi = 0.637 радиан или 36.5 ∘ 36.5^\circ . Это уже неплохое приближение, которое отличается от правильного ответа примерно на градус. Однако мы можем еще более уточнить его. Представим модуль широты ϕ \phi как сумму приближенного значения ϕ 1 \phi_1 и некоторой малой добавки Δ ϕ \Delta \phi . Тогда из свойств приближенных вычислений мы имеем

cos φ = cos φ 1 − Δ φ sin φ 1. \cos \varphi = \cos \varphi_1 - \Delta \varphi \sin \varphi_1.

Наше уравнение примет вид

φ 1 + Δ φ + π cos φ 1 − π Δ φ sin φ 1 = π . \varphi_1 + \Delta \varphi + \pi \cos \varphi_1 - \pi \Delta \varphi \sin \varphi_1 = \pi.

Решая его, получаем

Δ ϕ = π ( 1 − cos ϕ 1 ) − ϕ 1 1 − π sin ϕ 1 = π ( 1 − cos ( 2 / π ) ) − ( 2 / π ) 1 − π sin ( 2 / π ) = 0.0244  рад \Delta \phi = \frac{\pi (1 - \cos \phi_1) - \phi_1}{1 - \pi \sin \phi_1} = \frac{\pi (1 - \cos(2/\pi)) - (2/\pi)}{1 - \pi \sin(2/\pi)} = 0.0244 \text{ рад}

или 1.4 ∘ 1.4^{\circ} . В итоге, искомая широта есть ± 37.9 ∘ \pm 37.9^{\circ} . Остается добавить, что точное значение модуля широты составляет 37.83 ∘ 37.83^{\circ} .