ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача без названия

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2009ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_30c39b7a18870653 ID p_acb18ad5efe4ecc7
Предложить исправление
  • Сравните давление солнечного света и давление солнечного ветра на расстоянии Земли от Солнца. До какой скорости сможет разогнаться сферическая углеродная пылинка плотностью 2 г/см³ и радиусом 0.2 мкм под действием этих эффектов, если изначально пылинка находилась на расстоянии 1 а.е. от Солнца и была неподвижна? Концентрация частиц солнечного ветра вблизи Земли 8.7⋅106 м⁻³, их скорость 450 км/с.

Решение

Показать решение
  • Световое давление Солнца и давление солнечного ветра сходны: и то, и другое давление создается потоком частиц. Давление света создается потоком фотонов, в то время как солнечный ветер состоит в основном из протонов и электронов с небольшой примесью альфачастиц (ядер гелия 4He).

Обозначим площадь поперечного сечения пылинки как S. За время Δ t \Delta t в пылинку попадет n S v w Δ t nSv_w\Delta t частиц, где n — концентрация частиц, v w v_w — их скорость. Импульс каждой частицы равен m v w mv_w . Суммарный импульс всех частиц, попавших в пылинку за указанный интервал времени, составит m n S v w 2 Δ t mnSv_w^2\Delta t . Деля этот импульс на интервал времени, мы получаем силу давления частиц на пылинку, а деля также на площадь — давление потока частиц:

P w = m n v w 2 P_w = mnv_w^2

Подставляя численные данные для солнечного ветра, получаем около 3 ⋅ 10 − 9 3\cdot 10^{-9} Па. Газовое давление, обусловленное тепловыми скоростями частиц, значительно меньше, так как тепловые скорости меньше направленной скорости солнечного ветра.

Давление излучения проще посчитать исходя из тех соображений, что количество солнечной энергии приходящейся на единицу поверхности равно солнечной постоянной A, 1367 B t / m 2 Bt/m^2 . Солнечная постоянная — это полное количество солнечной лучистой энергии проходящей через единицу площади за единицу времени на расстоянии Земли от Солнца. Известно, что энергия фотонов равна

ε = h v = m c 2 , \varepsilon = hv = mc^2,

а их импульс:

p = m c = ε c . p = mc = \frac{\varepsilon}{c}.

Отсюда видно, что давление излучения равно

P = A C = 4.6 ⋅ 10 − 6 Pi a . P = \frac{A}{C} = 4.6 \cdot 10^{-6} \,\text{\Pi}a.

В итоге, давление солнечного излучения в 1500 раз больше давления солнечного ветра.

Для ответа на второй вопрос задачи запишем выражения для двух сил, действующих на пылинку с указанными характеристиками: притяжения

Солнца и давления солнечного излучения (давлением солнечного ветра, как было показано выше, можно пренебречь):

F 1 = G M μ R 2 = 4 3 G M ρ π r 3 R 2 ; F 2 = − J ⋅ π r 2 4 π ⋅ c R 2 = − A R 0 2 π r 2 c R 2 . F_1 = \frac{GM\mu}{R^2} = \frac{4}{3} \frac{GM\rho \pi r^3}{R^2}; \quad F_2 = -\frac{J \cdot \pi r^2}{4\pi \cdot cR^2} = -\frac{AR_0^2 \pi r^2}{cR^2}.

Здесь M и μ \mu — массы Солнца и пылинки, ρ \rho и r — плотность и радиус пылинки, R 0 R_0 и R — расстояние от Солнца до Земли и пылинки соответственно, J — светимость Солнца. Во втором выражении стоит знак минус, что указывает, что данная сила действует противоположно первой. Равнодействующая двух сил составит

F = F 1 + F 2 = π r 2 R 2 ( 4 G M ρ r 3 − A R 0 2 c ) = 4 G π ρ r 3 3 R 2 ( M − 3 A R 0 2 4 G c ρ r ) = 4 G π ρ r 3 3 R 2 M * . F = F_1 + F_2 = \frac{\pi r^2}{R^2} \left( \frac{4GM\rho r}{3} - \frac{AR_0^2}{c} \right) = \frac{4G\pi\rho r^3}{3R^2} \left( M - \frac{3AR_0^2}{4Gc\rho r} \right) = \frac{4G\pi\rho r^3}{3R^2} M^*.

Действие силы давления света приводит к тому, что пылинка движется в поле тяжести с уменьшенной эффективной массой Солнца M * M^* . Если же эффективная масса, стоящая в скобках в последней формуле, окажется меньше нуля, пылинка будет не притягиваться, а отталкиваться от Солнца. Чтобы выяснить, так ли это, подставим численные значения в выражение, стоящее в скобках. В результате мы получаем, что эффективная масса составляет -0.44M, и пылинка действительно будет отталкиваться от Солнца.

Так как результирующая сила пропорциональна R − 2 R^{-2} , то аналогичный вид сохранит и выражение для потенциальной энергии взаимодействия пылинки с Солнцем:

E = − G M * μ R = + 0.44 G M μ R . E = -\frac{GM^*\mu}{R} = +0.44 \frac{GM\mu}{R}.

По закону сохранения энергии, пылинка, неподвижная на расстоянии R 0 R_0 от Солнца, вылетит из Солнечной системы со скоростью

v = − 2 G M * R 0 = 2 ⋅ 0.44 ⋅ G M R 0 = v 0 0.44 , v = \sqrt{\frac{-2GM^*}{R_0}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.44 \cdot GM}{R_0}} = v_0 \sqrt{0.44},

где v 0 v_0 — средняя орбитальная скорость Земли. В итоге, мы получаем значение скорости, до которой действие Солнца разгонит пылинку: 19.8 км/с.