ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

10.2 Искусcтвенный отбор

Автор: А. Н. Акиньщиков

Астрономия10 класс2026ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_fb4c32badd663f2c ID p_af1081923c7354b5
Предложить исправление

Транзитный обзор даёт каталог планет с заметным избытком коротких периодов. Нужно оценить, какую часть этого эффекта создаёт геометрическая селекция самого метода.

Пусть все рассматриваемые планеты движутся по круговым орбитам вокруг солнцеподобных звёзд массы 1 ⊙ и радиуса 1 ⊙. Радиусы планет гораздо меньше радиусов звёзд, плоскости планетарных орбит ориентированы в пространстве случайно. Считайте, что наблюдатель обязательно обнаружит транзит, если он геометрически возможен.

В некотором транзитном каталоге распределение числа планет по периодам обращения оказалось таким:

Период, дни1–22–44–88–1616–3232–64
Число планет14511082604022

Для оценки считайте, что всем планетам внутри каждого диапазона периодов можно приписать период, равный среднему геометрическому границ диапазона.

  • A. Найдите, как вероятность наблюдения транзита зависит от периода системы .

  • B. Восстановите истинную популяцию оцените число планет в каждом диапазоне периодов и полное число планет в этом каталоге, если бы наблюдения не ограничивались эффектом геометрической селекции.

  • C. Сравните средний период планет в наблюдаемом каталоге и в восстановленной истинной популяции.

Решение

Показать решение

Решение. Обозначим через радиус круговой орбиты, а через – угол между нормалью к плоскости орбиты и лучом зрения. Тогда = 0∘ соответствует орбите, видимой плашмя, а = 90∘ – орбите, видимой с ребра. Достаточно рассматривать

0 ≤ i ≤ π 2 , 0 \le i \le \frac{\pi}{2},

поскольку две противоположные нормали задают одну и ту же плоскость орбиты.

В момент соединения расстояние от центра планеты до центра диска звезды в проекции на небо равно

b = a cos i . b = a\cos i.

Транзит возможен, если это расстояние не превосходит радиуса звезды:

a cos i ≤ R ⊙ . a\cos i \le R_{\odot}.

Значит, транзитные ориентации удовлетворяют условию

i ≥ i 0 , cos i 0 = R ⊙ a . i \ge i_0, \qquad \cos i_0 = \frac{R_{\odot}}{a}.

Теперь найдём долю систем с такими ориентациями орбит. При случайной ориентации плоскости орбиты направление её нормали равномерно распределено по сфере. На единичной сфере условия

i 0 ≤ i ≤ π 2 i_0 \le i \le \frac{\pi}{2}

задают сферический пояс. Его высота равна

cos i 0 − cos π 2 = cos i 0. \cos i_0 - \cos \frac{\pi}{2} = \cos i_0.

Площадь сферического пояса на единичной сфере равна произведению 2 на его высоту. Вся полусфера возможных различных плоскостей имеет площадь 2, поэтому доля подходящих ориентаций равна

p t r = 2 π cos i 0 2 π = cos i 0 = R ⊙ a . p_{\rm tr} = \frac{2\pi \cos i_0}{2\pi} = \cos i_0 = \frac{R_\odot}{a}.

Эквивалентная интегральная запись этого шага:

p t r = ∫ i 0 π / 2 sin i d i ∫ 0 π / 2 sin i d i = R ⊙ a . p_{\rm tr} = \frac{\int_{i_0}^{\pi/2} \sin i \, di}{\int_0^{\pi/2} \sin i \, di} = \frac{R_{\odot}}{a}.

Из третьего закона Кеплера для солнцеподобной звезды

a = ( P 1 y r ) 2 / 3 A U . a = \left(\frac{P}{1\,yr}\right)^{2/3}\,AU.

Следовательно,

p t r = R ⊙ A U ( P 1 y r ) − 2 / 3 ≈ 0.00465 ( P 1 y r ) − 2 / 3 . p_{\rm tr} = \frac{R_{\odot}}{AU} \left(\frac{P}{1\,yr}\right)^{-2/3} \approx 0.00465 \left(\frac{P}{1\,yr}\right)^{-2/3}.

Отсюда сразу видна и зависимость

p t r ∝ P − 2 / 3 , p_{\rm tr} \propto P^{-2/3},

и численная нормировка, необходимая для восстановления истинного числа планет.

В каждом диапазоне берём характерный период, равный среднему геометрическому его границ: √ √ √ √

P i = 2 , 2 2 , 4 2 , 8 2 , 16 2 , 32 2 d . P_i = \sqrt{2}, \ 2\sqrt{2}, \ 4\sqrt{2}, \ 8\sqrt{2}, \ 16\sqrt{2}, \ 32\sqrt{2} \,\mathrm{d}.

Для этих периодов получаем примерно следующие геометрические вероятности транзита:

0.189 , 0.119 , 0.0748 , 0.0472 , 0.0297 , 0.0187. 0.189, 0.119, 0.0748, 0.0472, 0.0297, 0.0187.

Если в некотором диапазоне наблюдается obs планет, то соответствующее истинное их число оценивается как

N t r u e ≈ N o b s p t r . N_{\mathrm{true}} \approx \frac{N_{\mathrm{obs}}}{p_{\mathrm{tr}}}.

Отсюда в распределении по диапазонам получаем примерные значения:

769, 926, 1096, 1273, 1347, 1176.

Суммируя, находим оценку общего числа планет в диапазоне периодов от 1 до 64 суток:

N t r u e , t o t ≈ 6590. N_{\rm true,tot} \approx 6590.

При этом в наблюдаемом каталоге было всего

N obs,tot = 145 + 110 + 82 + 60 + 40 + 22 = 459 N_{\text{obs,tot}} = 145 + 110 + 82 + 60 + 40 + 22 = 459

планет.

Теперь найдём средний период. Для наблюдаемого каталога используем те же характерные периоды :

⟨ P ⟩ o b s ≈ ∑ N o b s , i P i ∑ N o b s , i . \langle P \rangle_{\mathrm{obs}} \approx \frac{\sum N_{\mathrm{obs},i} P_i}{\sum N_{\mathrm{obs},i}}.

Подстановка чисел даёт

⟨ P ⟩ o b s ≈ 7.8 d . \langle P \rangle_{\rm obs} \approx 7.8 \,\mathrm{d}.

Для истинной популяции периоды нужно усреднять с весами, равными восстановленным числам планет:

⟨ P ⟩ t r u e ≈ ∑ N t r u e , i P i ∑ N t r u e , i ≈ 16.4 d . \langle P \rangle_{\mathrm{true}} \approx \frac{\sum N_{\mathrm{true},i} P_i}{\sum N_{\mathrm{true},i}} \approx 16.4 \,\mathrm{d}.

Плоский случай

Дополнительно рассмотрим плоский случай, который использовало большинство участников: плоскость орбиты проворачивается относительно картинной плоскости только в одном направлении. При таком ограничении ориентации орбиты транзит возможен тогда, когда луч зрения проходит от плоскости орбиты не дальше, чем на расстояние порядка ⊙. Поэтому геометрическая вероятность транзита пропорциональна

p t r ∝ 2 π R ⊙ a , p_{\rm tr} \propto \frac{2}{\pi} \frac{R_{\odot}}{a},

где – радиус орбиты. Из третьего закона Кеплера для солнцеподобной звезды следует:

P 2 ∝ a 3 , a ∝ P 2 / 3 . P^2 \propto a^3, \qquad a \propto P^{2/3}.

Следовательно,

p t r = 2 π R ⊙ A U ( P 1 y r ) − 2 / 3 ≈ 0.0093 1 π ( P 1 y r ) − 2 / 3 . p_{\rm tr} = \frac{2}{\pi} \frac{R_{\odot}}{AU} \left(\frac{P}{1 \, yr}\right)^{-2/3} \approx 0.0093 \frac{1}{\pi} \left(\frac{P}{1 \, yr}\right)^{-2/3}.

В этом случае получаем следующие геометрические вероятности транзита:

0 , 120 , 0 , 075 , 0 , 0476 , 0 , 03 , 0 , 0189 , 0 , 0119. 0,120, 0,075, 0,0476, 0,03, 0,0189, 0,0119.

Отсюда при распределении по диапазонам получаем количество планет в истинной популяции:

1207, 1454, 1721, 2000, 2116, 1847.

Суммируя, находим оценку общего числа планет в диапазоне периодов от 1 до 64 суток:

N t r u e , t o t ≈ 10345. N_{\rm true,tot} \approx 10345.

Остальные значения не меняются.

Критерии

Показать критерии
Критерии оценивания.15
K1.Выведение (определение) формулы для вероятности. 4
Если использовано плоское приближение, выставляется 2 балла, но остальное решение
оценивается полностью
Если формула дается без вывода, то выставляется 0 баллов за критерий, остальное реше-
ние оценивается полностью
K2.Формула зависимости вероятности наблюдения транзита от периода системы Для плоского приближения выставляется 1 балл. 2
K 3.Вычисление верных периодов планет для каждого диапазона ⋅ 2 \cdot 2
Каждое ошибочное вычисление – минус 1 балл за критерий, но суммарно за критерий не меньше 0 баллов
K 4.Определение количества планет для каждого диапазона2
Каждое ошибочное вычисление – минус 1 балл за критерий, но суммарно за критерий не меньше 0 баллов
K5.Определение полного количества планет в истинной популяции.1
Выставляется только при полностью верном решении
K 6.Формула для нахождения среднего периода для выборки планет. 1
Численное нахождение среднего периода для планет каталога
Если периоды в диапазоне вычислялись по формуле среднего арифметического, то 1 балл
K8.Численное нахождение среднего периода для планет истинной популяции. 1
Для варианта плоского приближения: Вероятность умножается на 2 π \frac{2}{\pi} (в итоговой
формуле тоже). Результат меняется только в значении вероятностей и в количе-
стве планет. Вероятности: 0.120; 0.075; 0.0476; 0.03; 0.0189; 0.0119. Количество планет:
1207, 1454, 1721, 2000, 2116, 1847 . Общее количество планет в истинной популяции: 10345 10345 .
Для варианта среднего арифметического за критерии К3 и К7 ставится 0 баллов и 1 балл
соответственно. Остальное решение оценивается в полной мере.