ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

9.3 Одно из двух

Автор: А. Н. Акиньщиков

Астрономия9 класс2026ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_44b36de6fd509c95 ID p_cc2996dc34df537c
Предложить исправление

С помощью телескопа составляется каталог всех звёзд, видимый поток от которых превышает фиксированный порог. В окрестностях Солнца на один красный гигант приходится 400 звезд, подобных Солнцу (желтых карликов). Абсолютная звездная величина красных гигантов равна − 0.5 m -0.5^m , а желтых карликов 5 m 5^m . Считайте, что звёзды распределены в пространстве равномерно, а поглощением света можно пренебречь. Какой класс звёзд из представленных окажется более многочисленным в итоговом каталоге и во сколько раз?

Решение

Показать решение

Решение. Поток от звезды светимости L на расстоянии d равен

F = L 4 π d 2 . F = \frac{L}{4\pi d^2}.

Минимальному значению потока F min F_{\min} соответствуют звезды, находящиеся на максимальном расстоянии d max d_{\max} . Тогда

d m a x = L 4 π F m i n ∝ L 1 / 2 . d_{\rm max} = \sqrt{\frac{L}{4\pi F_{\rm min}}} \propto L^{1/2}.

Пусть V m a x = 4 3 π d m a x 3 V_{\rm max}=\frac{4}{3}\pi d_{\rm max}^3 — объем, в котором находятся все видимые звезды данного типа. Тогда число звезд в этом объеме:

N = n V = 4 3 π n d max 3 ∝ n d max 3 ∝ n L 3 / 2 , N = nV = \frac{4}{3}\pi \, n \, d_{\text{max}}^3 \propto n \, d_{\text{max}}^3 \propto n L^{3/2},

где n — пространственная плотность числа звёзд данного типа. Следовательно, отношение числа красных гигантов N g N_{\rm g} к числу карликов N d N_{\rm d} равно:

N g N d = n g n d ( L g L d ) 3 / 2 . \frac{N_{\rm g}}{N_{\rm d}} = \frac{n_{\rm g}}{n_{\rm d}} \left(\frac{L_{\rm g}}{L_{\rm d}}\right)^{3/2}.

Абсолютные звездные величины гигантов и карликов отличаются на 5.5 m 5.5^m звездных величин. Тогда из формулы Погсона получаем:

L g L d = 10 − 0.4 ( − 0.5 − 5 ) ≈ 158. \frac{L_{\rm g}}{L_{\rm d}} = 10^{-0.4(-0.5-5)} \approx 158.

Отношение пространственных плотностей задано в условии. Подставим числа:

N g N d = 1 400 ⋅ 158 3 / 2 ≈ 1986 400 ≈ 5. \frac{N_{\rm g}}{N_{\rm d}} = \frac{1}{400} \cdot 158^{3/2} \approx \frac{1986}{400} \approx 5.

Значит, в таком каталоге красных гигантов окажется в 5 раз больше, при том, что в пространстве они встречаются в 400 раз реже. Причина этого кажущегося парадокса в том, что яркая звезда видна с гораздо большего расстояния, то есть мы их выбираем из гораздо большего объема пространства.

Альтернативное решение. Выразим предельные звездные величины для красных гигантов и желтых карликов:

m lim = M g − 5 + 5 lg d max g , m_{\lim} = M_g - 5 + 5 \lg d_{\max g},
m lim = M d − 5 + 5 lg d max d . m_{\lim} = M_d - 5 + 5 \lg d_{\max d}.

Так как предельная звездная величина одинакова из-за одинакового предельного потока:

M g − 5 + 5 lg d max g = M d − 5 + 5 lg d max d , M_g - 5 + 5 \lg d_{\max g} = M_d - 5 + 5 \lg d_{\max d},
5 lg d max g − 5 lg d max d = M d − M g . 5 \lg d_{\max g} - 5 \lg d_{\max d} = M_d - M_g.

Тогда отношение предельных расстояний:

d max  g d max  d = 10 M d − M g 5 = 10 5 − ( − 0.5 ) 5 = 10 1.1 ≈ 12.59 , \frac{d_{\text{max }g}}{d_{\text{max }d}} = 10^{\frac{M_d - M_g}{5}} = 10^{\frac{5 - (-0.5)}{5}} = 10^{1.1} \approx 12.59,

и итоговое отношение числа звезд:

N g N d = n g n d 4 3 π d max g 3 4 3 π d max d 3 = 12.59 3 400 = 1986 400 ≈ 5. \frac{N_{\rm g}}{N_{\rm d}} = \frac{n_{\rm g}}{n_{\rm d}} \frac{\frac{4}{3}\pi \, d_{\max g}^3}{\frac{4}{3}\pi \, d_{\max d}^3} = \frac{12.59^3}{400} = \frac{1986}{400} \approx 5.

Критерии

Показать критерии
Криитерии оценивания.15
𝐊 𝟏 ¯ \bar{\mathbf{K1}} .Связь d max d_{\max} со светимостью звезды (должна быть в явном виде)2
Например: F = L 4 π d 2 F = \frac{L}{4\pi d^2} , m l i m = M g − 5 + 5 lg d max g m_{lim} = M_g - 5 + 5 \lg d_{\max g} или аналогичные
K2 .Связь N N и d max d_{\max} (должна быть в явном виде)2
Например: N = 4 3 π n d max 3 N = \frac{4}{3}\pi n d_{\text{max}}^3 или аналогичные
K 3.Определение отношения светимостей4
Формула Погсона в подходящей для вычисления форме в явном виде
Правильное значение отношения светимостей
Если участник не производит отдельного вычисления отношения светимостей, то послед-
ние 2 балла добавляются к оценке за правильный итоговый ответ и выставляются в зави-
симости от его правильности. Если участник приводит только численные значения (только
подстановку), то общая оценка за этот пункт не превышает 2 баллов
K4.Формула для отношения числа звезд. 4
K5.Правильный численный ответ3
Выставляется только за правильный ответ при отсутствии ошибок в предыдущих частях
задачи.