ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

СТАРТ В ДАЛЬНИЙ ПУТЬ

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2011ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_ece46527d2788283 ID p_b283bdbb13f23daa
Предложить исправление

Планета

О.С. Угольников

2 Дальняя межпланетная станция стартует с Земли 1 января, чтобы потом без последующих коррекций орбиты по энергетически выгодной траектории достигнуть далекой карликовой планеты, обращающейся вокруг Солнца на окраинах Солнечной системы. В какой день начавшегося года эта планета вступит в противостояние с Солнцем? Орбита планеты круговая, она лежит в плоскости эклиптики, планета обращается по ней в том же направлении, что и Земля по своей орбите. Орбиту Земли также считать круговой.

Решение

Показать решение

В случае круговых орбит Земли и планеты энергетически выгодная траектория перелета без коррекций представляет собой половину эллипса, касающегося орбиты Земли в перигелии и орбиты планеты — в афелии. Этот эллипс, как и орбиты обеих планет, также лежит в плоскости эклиптики.

через r. Как известно, Солнечная система простирается на сотни астрономических единиц от Солнца, а радиус орбиты карликовой планеты на ее окраинах много больше радиуса орбиты Земли r 0 r_0 . В соответствии с III законом Кеплера, орбитальный период далекой планеты равен

T = T 0 ( r r 0 ) 3 / 2 , T = T_0 \left(\frac{r}{r_0}\right)^{3/2},

где T 0 T_0 – орбитальный период Земли. Большая полуось орбиты межпланетной станшии составит

a = r + r 0 2 ≈ r 2 . a = \frac{r + r_0}{2} \approx \frac{r}{2}.

Время перелета станции от Земли к планете t есть половина орбитального периода этой станции:

t = 1 2 T 0 ⋅ ( r 2 r 0 ) 3 / 2 = T ⋅ 1 4 2 . t = \frac{1}{2}T_0 \cdot \left(\frac{r}{2r_0}\right)^{3/2} = T \cdot \frac{1}{4\sqrt{2}}.

За это время сама планета сместится по своей орбите на угол

γ = 360 ∘ ⋅ t T = 63.6 ∘ . \gamma = 360^{\circ} \cdot \frac{t}{T} = 63.6^{\circ}.

Это перемещение будет происходить в ту же сторону, что и движение Земли по орбите (на рисунке – против часовой стрелки). В момент запуска Земля находилась в положении 1 на рисунке, с другой стороны от Солнца относительно точки, где станция прибудет на далекую планету. Ближайшее противостояние планеты наступит, когда Земля окажется в положении 2. Это произойдет менее чем через полгода, и смещением планеты по орбите за это время можно пренебречь, так как оно будет значительно меньше 1° (перемещение Земли за 1 день). Чтобы перейти из положения 1 в положение 2, Земле нужно пройти по орбите дугу в 180° – γ \gamma , то есть в 116.4°. Время, которое на это потребуется, составляет

τ = T 0 180 ∘ − γ 360 ∘ . \tau = T_0 \frac{180^\circ - \gamma}{360^\circ}.

Этот интервал равен 118 дням. Старт межпланетной станции произошел 1 января, а ближайшее противостояние далекой планеты наступит 28 или 29 апреля, в зависимости от того, является ли данный год високосным или нет.