ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

6 МНОЖЕСТВО МИРОВ

Автор: О.С. Угольников

Астрономия11 класс2024ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_edit_p_c4289d3df15811ae_4 ID p_c4289d3df15811ae
Предложить исправление

Предположим, мы оказались внутри крупной системы из большого числа звезд главной последовательности. Вокруг каждой звезды по круговой орбите с радиусом l движется по одной планете с радиусом r, все планеты одинаковы. Большая сеть одинаковых наземных телескопов на разных широтах Земли провела длительную серию измерений всех доступных им звезд, проницающая способность телескопа (болометрическая звездная величина) равна m. Приборы позволяют фиксировать относительное изменение яркости звезды Δ J / J \Delta J/J , не меньшее фиксированной величины η < < 1 \eta << 1 . Планеты существенно меньше звезд по размерам и массе, оси орбит планет ориентированы в пространстве хаотично.

Звезды в пределах возможности наблюдения телескопов расположены однородно, объемная концентрация звезд с массами от M до M+dM соответствует функции Солпитера d n = n 0 ( M / M 0 ) − α d M / M 0 dn=n_0(M/M_0)^{-\alpha}dM/M_0 . Для этих звезд выполняется соотношение «масса — светимость» ( L / L 0 ) = ( M / M 0 ) 4 (L/L_0)=(M/M_0)^4 и «масса — радиус» ( R / R 0 ) = ( M / M 0 ) (R/R_0)=(M/M_0) . Индекс «0» в этих случаях соответствует Солнцу. Минимальная масса звезды равна M M M_{\rm M} . Все характеристики Солнца ( R 0 , M 0 , (R_0, M_0, абсолютная болометрическая звездная величина m 0 m_0 ) заданы. Межзвездным и атмосферным поглощением света, потемнением звезд к краю пренебречь. Звезды не экранируют друг друга. Определите полное число открытых планет.

Решение

Показать решение

В условии задания сказано, что наблюдения были длительными, поэтому мы можем считать, что они больше орбитального периода планет, и мы обязательно зафиксируем транзит, если он произойдет.

Определим для начала максимальное расстояние до звезды солнечного типа, чтобы эта звезда попала в обзор, выразив его в парсеках:

lg D 0 = 1 + m − m 0 5 ; D 0 = 10 1 + 0.2 ( m − m 0 ) . \lg D_0 = 1 + \frac{m - m_0}{5}; \quad D_0 = 10^{1 + 0.2(m - m_0)}.

Для простоты дальнейших формул мы будем использовать эту величину, как заданную. Возьмем теперь звезду с массой M. Максимально возможное расстояние до этой звезды, чтобы она попала в обзор, равно

D = D 0 L L 0 = D 0 ( M M 0 ) 2. D = D_0 \sqrt{\frac{L}{L_0}} = D_0 \left(\frac{M}{M_0}\right)^2.

Общее количество звезд с массой от M до M+dM, попавших в обзор, есть их концентрация, умноженная на объем шара с радиусом D:

d N T = n 0 ( M M 0 ) − α ⋅ 4 π 3 D 0 3 ⋅ ( M M 0 ) 6 ⋅ d M M 0 = 4 π n 0 D 0 3 d M 3 M 0 ( M M 0 ) 6 − α . dN_{\rm T} = n_0 \left(\frac{M}{M_0}\right)^{-\alpha} \cdot \frac{4\pi}{3} D_0^3 \cdot \left(\frac{M}{M_0}\right)^6 \cdot \frac{dM}{M_0} = \frac{4\pi n_0 D_0^3 dM}{3M_0} \left(\frac{M}{M_0}\right)^{6-\alpha}.

По условию задачи, у каждой из этих звезд есть планета на расстоянии r. Но не каждую из них мы можем заметить. Пусть угол между плоскостью орбиты и и лучом зрения -i. Тогда, с учетом малости размеров планеты, мы можем записать условие наступления транзита:

l | sin i | ≤ R ; | sin i | ≤ R / l . l |\sin i| \le R; \quad |\sin i| \le R/l.

Рассмотрим сферу единичного радиуса с центром в положении звезды и осью, направленной к наблюдателю. Ось вращения может быть направлена в любую точку этой сферы, и если она окажется рядом с экватором в этой системе, то может наблюдаться транзит. Вероятность этого события будет равна отношению площади сегмента вокруг экватора этой сферы с толщиной 2 i M 2i_{\rm M} к площади всей сферы:

P = 4 π sin i M 4 π = sin i M = R l = R 0 l ⋅ M M 0 . P = \frac{4\pi \sin i_{\rm M}}{4\pi} = \sin i_{\rm M} = \frac{R}{l} = \frac{R_0}{l} \cdot \frac{M}{M_0}.

Теперь мы можем определить количество звезд в интервале масс от M до M+dM, у которых удастся обнаружить планеты:

d N = d N T P = 4 π n 0 D 0 3 R 0 d M 3 l ⋅ M 0 ( M M 0 ) 7 − α . dN = dN_{\rm T}P = \frac{4\pi n_0 D_0^3 R_0 dM}{3l \cdot M_0} \left(\frac{M}{M_0}\right)^{7-\alpha}.

Нам остается проинтегрировать этот ответ по всем возможным значениям масс. Минимальная масса нам известна, она равна M M M_{\rm M} . Максимальная масса M H M_{\rm H} будет соответствовать такому радиусу звезды R H R_{\rm H} , при котором планета вызовет транзит на пределе возможностей обнаружения приборами:

η = r 2 R H 2 ; M H = M 0 R H R 0 = M 0 r R 0 η . \eta = \frac{r^2}{R_{\rm H}^2}; \quad M_{\rm H} = M_0 \frac{R_{\rm H}}{R_0} = M_0 \frac{r}{R_0 \sqrt{\eta}}.

При реальных значениях α \alpha (от 2 до 3) величина (7– α \alpha ) положительна, и мы можем записать итоговый ответ:

N = 4 π n 0 D 0 3 R 0 3 l ⋅ M 0 8 − α ∫ M M M H M 7 − α d M = 4 π n 0 D 0 3 R 0 3 ( 8 − α ) l [ r 8 − α R 0 8 − α η 4 − α / 2 − M M 8 − α M 0 8 − α ] . N = \frac{4\pi n_0 D_0^3 R_0}{3l \cdot M_0^{8-\alpha}} \int_{M_M}^{M_H} M^{7-\alpha} dM = \frac{4\pi n_0 D_0^3 R_0}{3(8-\alpha) l} \left[ \frac{r^{8-\alpha}}{R_0^{8-\alpha} \eta^{4-\alpha/2}} - \frac{M_M^{8-\alpha}}{M_0^{8-\alpha}} \right].

Если учесть, что в настоящее время точность фотометрических измерений η \eta достаточно высока, и планеты обнаруживаются у звезд с массой, существенно большей M M M_{\rm M} , то с учетом высокого показателя степени (8- α \alpha ) второе слагаемое несравнимо меньше первого, и мы можем записать упрощенный вид ответа:

N = 4 π n 0 D 0 3 r 8 − α 3 ( 8 − α ) l R 0 7 − α η 4 − α / 2 , D 0 = 10 1 + 0.2 ( m − m 0 )  fig. N = \frac{4\pi n_0 D_0^3 r^{8-\alpha}}{3(8-\alpha) l R_0^{7-\alpha} \eta^{4-\alpha/2}}, \quad D_0 = 10^{1+0.2(m-m_0)} \text{ fig.}

Обратим внимание, что в таком приближении из ответа выпадает масса Солнца M 0 M_0 .

6. Система оценивания. Оценка за решение образуется из двух составляющих — качество решения и качество ответа (6 и 4 балла соответственно). Ошибка, сделанная на каком-либо этапе решения (часть 1) не влияет на оценки за другие этапы решения, но может сказаться на оценке за часть 2, если она приводит к ошибке в ответе. Максимальная оценка за все решение составляет 10 баллов.