ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 4

Автор: А. В. Веселова

АстрономияРегиональный11 класс2023Есть решение редакция rv_2de158d6b0cf6017 ID p_c4638378c58f60b8
Предложить исправление

В далекой звездной системе по круговой орбите вокруг звезды главной последовательности массой 1.5 M ⊙ 1.5\,M_\odot обращается планета копия Земли по размерам. Сходство дополняется тем, что планета получает от звезды ровно столько же энергии, сколько Земля получает от Солнца. Вокруг планеты обращается спутник–копия Луны по размерам, только наклон орбиты спутника равен 0 ∘ 0^\circ , а период обращения составляет 50 земных суток. Определите период смены фаз спутника для наблюдателя на планете.

Решение

Показать решение

Для определения периода смены фаз спутника нам нужно определить период обращения планеты вокруг звезды, а для этого требуется знать радиус орбиты r планеты. Эту величину мы найдем из равенства освещенностей, создаваемых звездой на планете и Солнцем на Земле:

L ⊙ 4 π r 2 = L ⊙ 4 π a ⊕ 2 \frac{L_{\odot}}{4\pi r^2} = \frac{L_{\odot}}{4\pi a_{\oplus}^2}

Для звезд главной последовательности с массами близ солнечной справедлива пропорциональность L ∼ M 4 L \sim M^4 , отсюда

M 4 4 π r 2 = M ⊙ 4 4 π a ⊙ 2 , r = a ⊕ ⋅ ( M M ⊙ ) 2 = 2.25  a.e. \frac{M^4}{4\pi r^2} = \frac{M_{\odot}^4}{4\pi a_{\odot}^2}, \ r = a_{\oplus} \cdot \left(\frac{M}{M_{\odot}}\right)^2 = 2.25 \text{ a.e.}

По третьему закону Кеплера

T 2 r 3 = 4 π 2 G M . \frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}.

В системе единиц «год – а. е. – масса Солнца»

T 2 r 3 = 1 M . \frac{T^2}{r^3} = \frac{1}{M}.

Отсюда

T = r 3 M = 2.25 3 1.5 = 2.76 r . T = \sqrt{\frac{r^3}{M}} = \sqrt{\frac{2.25^3}{1.5}} = 2.76 \,\mathrm{r}.

Спутник обращается в той же плоскости, что и планета, с периодом T s = 50 T_{\rm s}=50 суток. Наклон орбиты равен нулю, это означает, что спутник и планета движутся по орбитам в одном направлении. Период смены фаз — синодический период S спутника — связан с относительным движением спутника и планеты:

1 S = 1 T s − 1 T , S = T T s T − T s = 2.76 ⋅ 365.25 ⋅ 50 2.76 ⋅ 365.25 − 50 = 52.6  cyr . \frac{1}{S} = \frac{1}{T_s} - \frac{1}{T}, \quad S = \frac{TT_s}{T - T_s} = \frac{2.76 \cdot 365.25 \cdot 50}{2.76 \cdot 365.25 - 50} = 52.6 \text{ cyr}.