ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача без названия

АстрономияКлассы неизвестны2023ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_ab9da23cd9b08aa2 ID p_cad15c1dec9222da
Предложить исправление

В ходе астрометрической миссии будущего (через 200 с небольшим лет) координаты центра сверхмассивной черной дыры (СМЧД) в центре нашей Галактики одновременно измеряются инфракрасными телескопами с околоземной орбиты и с поверхности Плутона (его координаты в небе Земли в этот момент α = 18 \alpha = 18 ч, δ = − 17 \delta = -17 °, гелиоцентрическое расстояние 32 а.е.). Обоими телескопами было сделано по одному измерению с точностью до 1 наносекунды дуги ( 10 − 9 10^{-9} "). С какой точностью можно определить расстояние до центра СМЧД в центре Галактики на основе этих измерений?

Решение

Показать решение

Гелиоцентрическое расстояние Плутона существенно больше гелиоцентрического расстояния Земли. Мы будем из естественных соображений предполагать, что измерения производились вблизи противостояния Плутона и находящегося на небе неподалеку центра галактики, и тогда расстояние между точками измерений составляет 31 а.е. При этом, ответ на задачу существенно не изменится, если мы будем считать его равным средней величине (32 а.е.).

Фактор, который нужно принять во внимание — относительное расположение Плутона и центра Галактики в небе Земли во время эксперимента. Они находятся неподалеку друг от друга. Если знать точные координаты источника Стрелец А, связанного с СМЧД (17ч45м, − 29 ∘ -29^{\circ} ), то угловое расстояние между ними γ \gamma получается равным 13 ∘ 13^{\circ} , оно практически не изменяется, если мы учтем прецессионное смещение за 200 лет ( 12 ∘ 12^{\circ} ).

Угол, под которым из центра Галактики будет видна линия «Земля – Плутон», равен

π = d sin γ l . \pi = \frac{d \sin \gamma}{l}.

Этот параллактический угол есть разница координат СМЧД, измеренных с Земли и Плутона. Это соотношение есть основа для определения расстояния до источника Sgr A*. Пусть теперь в результате измерений угол π \pi был измерен с ошибкой Δ π \Delta\pi . Тогда итоговое расстояние будет измерено с ошибкой Δ l \Delta l :

l + Δ l = d sin γ π + Δ π = d sin γ π ( 1 + Δ π / π ) ≈ d sin γ π ( 1 − Δ π / π ) . l + \Delta l = \frac{d \sin \gamma}{\pi + \Delta \pi} = \frac{d \sin \gamma}{\pi (1 + \Delta \pi / \pi)} \approx \frac{d \sin \gamma}{\pi} (1 - \Delta \pi / \pi).

Отсюда мы получаем выражение для модуля погрешности измерения расстояния:

| Δ l | = d sin γ | Δ π | π 2 = l 2 | Δ π | d sin γ . |\Delta l| = \frac{d \sin \gamma |\Delta \pi|}{\pi^2} = \frac{l^2 |\Delta \pi|}{d \sin \gamma}.

По условию задачи, обе обсерватории имеют ошибку измерений координат 10–9 или 5·10–15 радиан. Поэтому результирующую ошибку правильней считать большей в 2 раза (хотя для оценки можно считать ее такой же или в 2 раза большей). Расстояние l есть 8.5 кпк или 1.8·109 а.е. В итоге, мы получаем оценку погрешности расстояния l ~ 2000 а.е.