ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

ПОИСКИ ДАЛЕКОЙ ПЛАНЕТЫ

Автор: О.С. Угольников

АстрономияКлассы неизвестны2018ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_4da8739fac3f6306 ID p_d5aed1505508be26
Предложить исправление

В настоящее время ведутся поиски возможной девятой планеты Солнечной системы, которая может иметь диаметр в 10 диаметров Земли и располагаться в 280 а.е. от Солнца. Астероид какого диаметра в главном поясе будет иметь такую же яркость на Земле в противостоянии, как и эта планета? Отражательную способность поверхности астероида считать аналогичной лунной, а планеты — аналогичной Нептуну. Оба тела располагаются в плоскости эклиптики.

Решение

Показать решение

Пусть тело имеет диаметр D и сферическое альбедо A и обращается вокруг Солнца по круговой орбите на расстоянии L от него. Тогда плотность потока солнечной энергии около этого объекта составит J / 4 π L 2 J/4\pi L^2 , где J — светимость Солнца. Перехватывая эту энергию площадью π D 2 / 4 \pi D^2/4 , тело будет отражать в пространство ее часть, соответствующую альбедо A. Будем считать, что свет телом отражается изотропно. Так как тело при наблюдении с Земли находится в противостоянии с Солнцем, его расстояние от Земли равно ( L − L 0 ) (L-L_0) , где L 0 L_0 — расстояние от Земли до Солнца. В итоге, плотность потока энергии от тела на Земле составит

j = J 4 π L 2 ⋅ π D 2 A 4 ⋅ 1 4 π ( L − L 0 ) 2 = J D 2 A 64 π L 2 ( L − L 0 ) 2 . j = \frac{J}{4\pi L^2} \cdot \frac{\pi D^2 A}{4} \cdot \frac{1}{4\pi (L - L_0)^2} = \frac{JD^2 A}{64\pi L^2 (L - L_0)^2}.

Сравним теперь астероид главного пояса (индекс 1) и гипотетическую девятую планету Солнечной системы (индекс 2). Так как нас не интересуют абсолютные значения яркости, мы можем выражать расстояния в астрономических единицах, и тогда L 0 L_0 =1, а также опустить все константы в предыдущем выражении. Условие одинакового видимого блеска на Земле выражается как

D 1 2 A 1 L 1 2 ( L 1 − 1 ) 2 = D 2 2 A 2 L 2 2 ( L 2 − 1 ) 2 . \frac{D_1^2 A_1}{L_1^2 (L_1 - 1)^2} = \frac{D_2^2 A_2}{L_2^2 (L_2 - 1)^2}.

Отсюда мы получаем выражение для диаметра астероида

D 1 = D 2 L 1 ( L 1 − 1 ) L 2 ( L 2 − 1 ) A 2 A 1 . D_1 = D_2 \frac{L_1(L_1 - 1)}{L_2(L_2 - 1)} \sqrt{\frac{A_2}{A_1}}.

В качестве расстояния от Солнца до главного пояса астероидов L 1 L_1 возьмем 2.8 а.е. или L 2 / 100 L_2/100 . Величина D 1 D_1 оказывается равной 15 км.

Система оценивания (от одного члена жюри). Основой решения задачи является зависимость яркости планеты в противостоянии от ее диаметра, альбедо и расстояния от Солнца. Она может быть выведена или взятая как известная, ее правильная полная запись оценивается в 4 балла. Если при этом не учтен фактор альбедо, оценка снижается на 2 балла, но дальнейшие вычисления (с ответом около 7-8 км) оцениваются в полной мере.

Если неверно учтена зависимость от расстояния L – опущен один из множителей L или (L-1) и получен ответ около 2000 км — за все решение выставляется не более 2 баллов. Если зависимости получены правильно, но опущено слагаемое «-1», то это не является ошибкой для планеты, но уменьшает оценку на 2 балла в случае астероида. В качестве расстояния от Солнца до главного пояса астероидов участники могут брать величины от 2.0 до 3.3 а.е, в противном случае оценка уменьшается на 2 балла. При выходе астероида из пространства между орбитами Марса и Юпитера оценка уменьшается на 4 балла.

Вычисление диаметра астероида оценивается еще в 4 балла. Если при решении диаметр путается с радиусом – оценка уменьшается на 2 балла.