ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

ЦЕПОЧКА МАРКАРЯНА

Автор: Н.Н. Шахворостова

АстрономияЗаключительный11 класс2015ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_0cf09986aa69afb2 ID p_e47234d6694bd879
Предложить исправление
  • Перед Вами фотография галактик, входящих в известную «цепочку Маркаряна» – часть скопления галактик в созвездии Девы (негатив). Галактики удалены на 16 Мпк от Земли. В таблице приведены значения лучевой скорости и видимой звездной величины каждой из этих галактик. В предположении, что «цепочка Маркаряна» является гравитационно-связанной системой, оцените массовый вклад темной материи в этой системе. Считать, что светимость галактик равна 1/10 светимости Солнца на солнечную единицу звездной массы. Межзвездным поглощением света пренебречь.

Решение

Показать решение
  • Будем считать систему гравитационно-связанной, если ее полная энергия отрицательна. Это не значит, что система останется такой вечно и не потеряет ни одного своего члена, но в этом случае она не сможет распасться полностью.

Практический тур – 11 класс

Чтобы найти величину энергии, нужны данные о массах и скоростях в этой системе. Из наблюдений мы знаем яркости галактик, пропорциональные их массе, и одну компоненту скорости каждой из них. Введем значение яркости галактики, определяемое ее звездной величиной:

Галактикаv R , км/сm
NGC 4374 (M84)10609.2
NGC 4406 (M86)-2448.9
NGC 443580110.8
NGC 44387110.0
NGC 4461193111.1
NGC 4473224410.2
NGC 4477135510.4
J i = C M i = 10 − 0.4 m i J_i = CM_i = 10^{-0.4m_i}

Здесь m i m_i — видимая звездная величина галактики с номером i , M i i, M_i — ее видимая (звездная) масса, C — некоторая постоянная. Определим лучевую скорость центра видимой массы всей "цепочки Маркаряна":

V 0 = ∑ i M i v i ∑ i M i = ∑ i J i v i ∑ i J i = + 670  km/c . V_0 = \frac{\sum_i M_i v_i}{\sum_i M_i} = \frac{\sum_i J_i v_i}{\sum_i J_i} = +670 \text{ km/c}.

Каждая из галактик движется вдоль луча зрения относительно центра масс со скоростью v i v_i – V 0 V_0 . Среднеквадратичная собственная лучевая скорость галактик составляет

v ‾ 1 = ∑ i M i ( v i − V 0 ) 2 ∑ i M i = ∑ i J i ( v i − V 0 ) 2 ∑ i J i . \overline{v}_{1} = \sqrt{\frac{\sum_{i} M_{i} (v_{i} - V_{0})^{2}}{\sum_{i} M_{i}}} = \sqrt{\frac{\sum_{i} J_{i} (v_{i} - V_{0})^{2}}{\sum_{i} J_{i}}}.

В действительности, галактики движутся вдоль трех направлений, квадраты компонент скорости складываются друг с другом. Будем считать вклад в энергию от движения по всем трем осям одинаковым. Тогда среднеквадратичная собственная скорость галактик равна

v ‾ = 3 ∑ i M i ( v i − V 0 ) 2 ∑ i M i = 3 ∑ i J i ( v i − V 0 ) 2 ∑ i J i = 1500  km/c . \overline{v} = \sqrt{\frac{3\sum_{i} M_{i} (v_{i} - V_{0})^{2}}{\sum_{i} M_{i}}} = \sqrt{\frac{3\sum_{i} J_{i} (v_{i} - V_{0})^{2}}{\sum_{i} J_{i}}} = 1500 \text{ km/c}.

Для простоты решения мы вполне могли считать массы галактик одинаковыми. В этом случае мы бы получили несколько иное значение средней лучевой скорости (+1000 км/с), но практически такую же среднеквадратичную скорость (1500 км/с).

Заметим, что скрытая масса, входящая в "цепочку Маркаряна", взаимодействует с видимой массой и также движется, и для нее мы предполагаем ту же характерную среднеквадратичную скорость. Чтобы система с такими скоростями была связанной, модуль потенциальной энергии должен превосходить кинетическую энергию. Обозначим характерный радиус системы как R. Тогда

G M 2 2 R > M v ‾ 2 2 ; M > v ‾ 2 R G . \frac{GM^2}{2R} > \frac{M\overline{v}^2}{2}; \quad M > \frac{\overline{v}^2 R}{G}.

Радиус системы нам известен, так как он виден под углом 40' с расстояния 16 Мпк. Он равен 200 кпк, и это означает, что полная масса системы не меньше 2 ⋅ 10 44 2 \cdot 10^{44} кг или 10 14 10^{14} масс Солнца.

Определим теперь массу видимого вещества в "цепочке Маркаряна". Вычисляя суммарную видимую звездную величину всех галактик, получаем 7.7m. Пренебрегая межзвездным поглощением (как в галактиках цепочки, так и в нашей Галактике), получаем абсолютную звездную величину системы:

m A = m + 5 − 5 lg D = − 23.3. m_{\rm A} = m + 5 - 5 \lg D = -23.3.

Здесь D — расстояние до системы. Абсолютная звездная величина системы на 28 m 28^{\rm m} меньше, чем у Солнца. Следовательно, светимость "цепочки Маркаряна" равна 10 0.4 ⋅ 28 10^{0.4\cdot 28} или 160 миллиардам светимостей Солнца. По условию задачи, одна солнечная светимость в галактиках создается звездной массой в 10 масс Солнца. В итоге, суммарная видимая масса системы M V M_{\rm V} равна 1.6 ⋅ 10 12 1.6\cdot 10^{12} масс Солнца. Предположение о гравитационной связанности системы ведет к величине вклада темного вещества:

μ D = M − M V M = 0.984. \mu_{\rm D} = \frac{M - M_{\rm V}}{M} = 0.984.

Это очень большая величина. По-видимому, цепочка Маркаряна не является гравитационно-связанной системой. К подобному выводу пришел сам В.Е. Маркарян в своей работе 1961 года.