Изменение, блеска астероида может быть вызвано двумя эффектами. Во-первых, изменяются расстояние между Землей и астероидом, а также между астероидом и Солнцем. Вовторых, изменяется угол Солнце-астероид-Земля. Видимая освещенная площадь дисков астероидов, находящихся за орбитой Марса, почти не меняется из-за фазового эффекта. Большее значение имеет тот факт, что при малых фазовых углах, то есть в соединении и противостоянии, поверхность астероидов отражает больше света.

Таким образом, большие пики возникают главным образом потому, что астероид в эти моменты находится ближе к наблюдателю. В моменты, когда наблюдаются малые пики, астероид, наоборот, находится за Солнцем, но благодаря фазовому эффекту отражает несколько больше света в сторону наблюдателя, чем до или после соединения.

Долгопериодические модуляции возникают из-за изменения расстояния астероида от Солнца. Их период равен периоду обращения астероида. Таким образом, можно попытаться измерить этот период напрямую, но сделать это точно довольно затруднительно. Поэтому выберем другой метод.

По определению, синодический период — это время, прошедшее между последовательными одноименными конфигурациями планеты. Однако, из-за эллиптичности орбиты астероида время, прошедшее между соседними максимумами, не одинаковое. Для измерения синодического периода с максимальной точностью необходимо измерить время между максимально удаленными друг от друга максимумами. Главными или вторичными — не имеет значения, важно, чтобы одинаковыми. Получаем, что 19 синодических периодов завершаются за 8500 дней. Тогда синодический период Лины равен $P \approx 447$ суток $\approx 1.22$ года.

Сидерический период астероида получим из уравнения синодического движения:

$$\frac{1}{P} = \frac{1}{T_0} - \frac{1}{T}.$$

Здесь T и $T_0$ — сидерические периоды астероида и Земли соответственно. Тогда

$$T = \frac{PT_0}{P - T_0} = \frac{1.22 \cdot 1}{1.22 - 1} = \frac{1.22}{0.22} \approx 5.5$$ года.

С помощью третьего закона Кеплера вычислим большую полуось орбиты:

$$a = a_0 \sqrt[3]{\left(\frac{T}{T_0}\right)^2} = \sqrt[3]{5.5^2} \approx 3.1 \text{ a. e.}$$

Мы видим, что блеск астероида меняется от противостояния к противостоянию. Это происходит из-за того, что в различных противостояниях астероид располагается на разных расстояниях от Земли и Солнца. Выберем противостояние и соединение, в которых Лина обладает максимальным блеском. Будем считать, что в эти моменты она располагается вблизи перигелия своей орбиты. Разность звездных величин составляет 1.7m. При этом, в обеих конфигурациях диск астероида освещен одинаково, он находится на одинаковом расстоянии от Солнца и изменение освещенности происходит только из-за изменения расстояния до Земли. Тогда из формулы Погсона получим

$$\frac{p+1}{p-1} = 10^{-0.2(m_{\rm o}-m_{\rm c})} = A \approx 2.2.$$

Здесь p — перигелийное расстояние астероида в астрономических единицах, $m_{\rm o}$ и $m_{\rm c}$ — блеск астероида в противостоянии и соединении. Получаем

$$p = \frac{A+1}{A-1} \approx 2.7 \, \text{a. e.}$$

Таким же образом получим, что разность звездных величин в максимально тусклых соединении и противостоянии составляет 1.1m. Тогда получаем расстояние афелия:

$$\frac{q+1}{q-1} = 10^{-0.2(\tilde{m}_o - \tilde{m}_c)} = B \approx 1.66, \quad \Rightarrow \quad q = \frac{B+1}{B-1} \approx 4.0 \text{ a. e.}$$

Отсюда получаем значение эксцентриситета орбиты

$$e = \frac{q-p}{q+p} = 0.20,$$

а также большую полуось орбиты

$$a = \frac{p+q}{2} = 3.4 \,\mathrm{a.\,e.}$$

Как видим, значение близкое, но отличное от полученного ранее. Дело в том, что при оценке минимального и максимального возможного блеска астероида мы каждый раз несколько недооценивали эти величины. Поэтому для определения большой полуоси больше подходит первый метод.

Обратим внимание, что если уже измерена величина большой полуоси, то, казалось бы, для определения эксцентриситета достаточно определить только одно дополнительное расстояние: перигелия или афелия.

$$e = 1 - \frac{p}{a} = 1 - \frac{2.7}{3.1} \approx 0.13, \qquad e = \frac{q}{a} - 1 = \frac{4.0}{3.1} - 1 \approx 0.29.$$

Как видим, ответ здесь выходит менее точным и более случайным. Получается это из-за того, что значения p и q определяются из фотометрии с меньшей точностью, чем a из анализа периодов, и, главное, содержат значительную систематическую погрешность.

Для справки. В качестве исходных данных использовались эфемериды астероида (468) Лина. Его параметры орбиты: a = 3.13 а. е., e = 0.196, i = 0.43°.

Система оценивания

1. Причина возникновения пиков

1 балл

2. Определение орбитального периода астероида

5 баллов

Вариант 1

1. Определение синодического периода в пределах [435–465] суток

3 балла

Если ответ менее точен, то при попадании в диапазон [410–490] — 2 балла, в диапазон [380–520] — 1 балл. В остальных случаях — 0 баллов и следующий пункт оценивается из 1 балла.

2. Вычисление орбитального периода 2 балла

Правильное уравнение — 1 балл, вычисление — 1 балл.

Вариант 2

1. Напрямую из графика путем анализа долгопериодических модуляций 3 балла

Вариант 3

Вычисление из определенного значения большой полуоси (п. 2.2) 3 балла

3. Определение большой полуоси орбиты 3 баллов

Вариант 1

При вычисленном орбитальном периоде 2 балла за правильную формулу 3-го закона Кеплера, и 1 балл за верное вычисление. При подстановке неправильного значения периода последний балл не выставляется.

Вариант 2

При вычислении из известных и оценивается из 2 баллов.

4. Определение эксцентриситета орбиты 6 баллов

5. Определение расстояния перигелия [2.5–2.8] а. е. и афелия [3.7–4.4] а. е.

орбиты 4 балла

Работа с графиком оценивается1 баллом, формула — 1 балл, значения — по 1 баллу. Если расстояние перигелия и афелия не попадают в ворота выше, но оказываются в диапазонах [2.4: 3.0] и [3.4: 4.5], то оценка снижается на 1 балл за каждую ошибку.

2. Вычисление эксцентриситета 2 балла

Если для вычисления эксцентриситета используется , полученное из орбитального периода, то оценивается из 1 балла.

Максимальная оценка за задачу 15 баллов.