Определим абсолютную звездную величину сверхновой звезды в максимуме блеска:

$$m_0 = -7.5 + 5 - 5 \lg (2200) \approx -19.$$

Из сравнения абсолютных величин сверхновой звезды и Солнца получаем светимость сверхновой в момент максимума: $4\cdot10^9$ светимостей Солнца или $1.6\cdot10^{36}$ Вт или $10^{55}$ эВ в секунду. В момент максимума мы можем считать, что кобальта-56 образовалось еще мало, и все свечение происходит за счет распада никеля-56 в ходе первой из приведенных в условии реакций. Количество частиц никеля-56 меняется со временем по экспоненциальному закону:

$$N_{Ni} = N_{Ni}^0 \cdot exp(-t \ln 2 / T_{Ni}),$$

где $T_{\rm Ni}$ — период полураспада никеля. Энерговыделение в реакции распада никеля будет зависеть от времени следующим образом:

$$J_{Ni} = -E_{Ni} \frac{dN_{Ni}}{dt} = \frac{N_{Ni}^{0} E_{Ni} \ln 2}{T_{Ni}} exp(-t \ln 2 / T_{Ni}).$$

Здесь $E_{\rm Ni}$ — энергия, выделяющаяся при превращении одного ядра никеля в ядро кобальта. Мы знаем величину светимости сверхновой звезды в момент t=0, $J^0_{\rm Ni}$ . Отсюда находим количество ядер никеля-56 в максимуме блеска сверхновой звезды:

$$N_{Ni}^{0} = \frac{J_{Ni}^{0} T_{Ni}}{E_{Ni} \ln 2} = 4 \cdot 10^{54}.$$

Полная масса никеля-56, образовавшегося при вспышке сверхновой:

$$M_{Ni} = \frac{N_{Ni}^0 \mu}{N_A} = 4 \cdot 10^{29} \ \kappa \varepsilon = 0.2 \ M_0.$$

Здесь $\mu$ — молярная масса данного изотопа никеля (она же — и кобальта, и железа, 0.056 кг/моль), $N_{\rm A}$ — постоянная Авогадро. Мы ответили на первый вопрос задачи. Чтобы ответить на второй вопрос, определим, во сколько раз должна ослабнуть сверхновая, чтобы ее видимый блеск на Земле стал равным $0^{\rm m}$ :

$$k = 10^{-0.4 \cdot 7.5} = 0.001$$

Количество никеля упадет в $1000~(\sim 2^{10})$ раз примерно через 10 периодов полураспада никеля, то есть через 61 день. Но в это время появится много кобальта, который распасться еще не успеет, и звезда будет еще достаточно яркой. Поэтому для ответа на второй вопрос задачи нам нужно учесть вторую реакцию приведенного в условии цикла.

В начале процесса кобальт-56 практически отсутствует, затем начинает быстро образовываться. Будем считать начальной эпохой распада кобальта момент, когда в него превратится половина всего никеля, то есть момент $t=T_{\rm Ni}$ . Точный анализ зависимости содержания кобальта от времени (рисунок, логарифмический масштаб по ординате) показывает, что это достаточно хорошее предположение. Тогда мы получаем выражение для светимости звезды в «позднюю» эпоху, когда никеля уже нет, и все энерговыделение обеспечивается распадом кобальта:

$$J_{Co} = -E_{Co} \frac{dN_{Co}}{dt} = \frac{N_{Co}^{0} E_{Co} \ln 2}{T_{Co}} exp(-(t - T_{Ni}) \ln 2 / T_{Co}).$$

В ходе цикла реакций каждое ядро никеля превращается в ядро кобальта, поэтому стартовое содержание $N^0$ у никеля и кобальта одинаково. Запишем выражение для отношения светимости сверхновой в момент времени t и в максимуме (t=0):

$$\frac{J_{Co}}{J_{Ni}^{0}} = \frac{E_{Co}}{T_{Co}} \frac{T_{Ni}}{E_{Ni}} exp(-(t - T_{Ni}) ln 2 / T_{Co}).$$

Приравнивая эту величину k, получаем:

$$t = T_{Ni} + \frac{T_{Co}}{\ln 2} \ln \left( \frac{1}{k} \cdot \frac{E_{Co}}{T_{Co}} \cdot \frac{T_{Ni}}{E_{Ni}} \right) = 570 \text{ cym} = 1.55 \text{ coda}.$$

В справедливости ответа можно убедиться по рисунку.

1 этап – 2 балла (1+1). Определение абсолютной звездной величины и светимости сверхновой звезды, точность 10%.

2 этап – 1 балл. Запись зависимости светимости звезды за счет распада никеля JNi как функции времени. Она может быть записана как известная либо выведена, как сделано в решении выше.

Вероятная ошибка участника: опускание одного или обоих факторов ln2 в этой формуле. Оценка за этап не выставляется, при этом 3-й этап оценивается в полной мере.

3 этап – 2 балла. Определение массы никеля в момент вспышки сверхновой, точность 20%.

4 этап – 2 балла. Запись зависимости светимости звезды за счет распада кобальта JCo как функции времени. Сдвиг времени, при котором относительное содержание кобальта экстраполируется на единицу, может быть взято в интервале от нуля до TNi/ln2 (период уменьшения количества никеля в e раз). Участник олимпиады может указать, что это время мало и на конечный ответ не влияет, и тогда этап может быть засчитан полностью. Если же эффект запаздывания полностью игнорируется или временная задержка выходит за рамки этого интервала, оценка уменьшается на 1 балл.

Вероятная ошибка участника: опускание одного или обоих факторов ln2. Оценка за этап не выставляется, 5 этап оценивается в полной мере.

5 этап – 3 балла. Определение времени, через которое звезда в небе Земли ослабнет до 0m, точность – 10 дней. При ошибке до 20 дней оценка уменьшается на 1 балл.

Вероятная ошибка участника на этапах 4-5: предположение, что сверхновая меняет яркость только за счет одной из двух реакций. В этом случае в качестве ответа получается примерно 10-кратный период полураспада соответствующего изотопа (60 дней для никеля и около 770 дней для кобальта). В этом случае 4 этап не засчитывается, за 5 этап ставится 1 балл.