Пусть a – радиус орбиты астероида, a0 – радиус земной орбиты. Рисунок построен в системе отсчета, вращающейся вместе с астероидом, то есть он там неподвижен, а Земля догоняет его в своем вращении. Пусть астероид обгоняет Землю (положение 1), тогда западная квадратура наступит вскоре по ходу синодического периода, до противостояния астероида.

Расстояние до астероида в момент, когда разность гелиоцентрических долгот, то есть угол с центром в Солнце между направлениями на Землю и астероид, равен $90^{\circ}$ , вычисляем по теореме Пифагора:

$$r = \sqrt{a^2 + a_0^2}.$$

Расстояние в западной квадратуре будет равно

$$l = \sqrt{a^2 - a_0^2}$$

Отношение расстояний есть

$$\frac{\sqrt{a^2 + a_0^2}}{\sqrt{a^2 - a_0^2}} = 1.29.$$

Отсюда выразим радиус орбиты астероида:

$$a^2 = \frac{1.29^2 + 1}{1.29^2 - 1}$$ ; $a = \sqrt{\frac{1.29^2 + 1}{1.29^2 - 1}} = 2.00$ a.e.

Оценим синодический период астероида:

$$S = \frac{TT_0}{T - T_0} = \frac{2^{1.5} \cdot 1}{2^{1.5} - 1} = 1.55$$ лет.

Определим, на какой угол должна уменьшиться разница гелиоцентрических долгот астероида и Земли (или на какой угол в системе отсчета астероида должна повернуться Земля):

$$\gamma = 90^{\circ} - \arccos \frac{a_0}{a} = 30^{\circ}.$$

Время, которое потребуется для прохождения данного угла, есть 1/12 синодического периода и составит 0.13 года.

Теперь предположим, что астероид отстает от Земли по долготе. Тогда разность долгот должна измениться на $180^{\circ}+30^{\circ}=210^{\circ}$ , и на это потребуется 7/12 синодического периода или 0.90 лет.

2. Система оценивания.

$1 \ \underline{\text{этап} - 2} \ \underline{\text{балла.}}$ Определение радиуса орбиты астероида, точность 0.02 а.е. При ошибке до 0.05 а.е. выставляется $1 \ \underline{\text{балл.}}$

2 этап — 2 балла. Определение синодического периода астероида, точность 0.03 года. При ошибке до 0.06 года выставляется 1 балл.

3 этап — 2 балла. Определение изменения разницы долгот астероида и Земли $\gamma$ (1 балл) и времени, оставшегося до квадратуры, для первого случая (1 балл), точность 0.02 года.

4 этап — 2 балла. Определение изменения разницы долгот астероида и Земли $\gamma$ (1 балл) и времени, оставшегося до квадратуры, для второго случая (1 балл), точность 0.06 года.