№ 10.3Задача 10.3
- 3. Условие. Кометное ядро радиусом 1 км и плотностью 0.5 г/см3, двигавшееся по параболической траектории относительно Солнца в плоскости эклиптики навстречу Земле, упало на видимое полушарие Луны, высветив в оптическом диапазоне спектра 10% энергии своего падения в течение одной минуты. Во сколько раз стала ярче Луна в небе Земли в это время? Орбиты Земли и Луны считать круговыми, падение произошло в полнолуние (O.C. Угольников).
- 3. Решение. Перед падением на Луну кометное ядро двигалось в Солнечной системе с параболической скоростью
$$v = \sqrt{\frac{2GM}{L}} = 42.1 \text{ km/c}.$$
Решение
Здесь M — масса Солнца, L — расстояние от Солнца до Земли. В этот момент Земля двигалась навстречу комете со скоростью
$$v_0 = \sqrt{\frac{GM}{L}} = 29.8 \text{ km/c}.$$
Коль скоро Луна в этот момент была в фазе полнолуния, она также двигалась навстречу комете с геоцентрической орбитальной скоростью $v_{\rm L}=1.0$ км/с. В итоге, селеноцентрическая скорость кометы составляла
$$u_0 = v + v_0 + v_L = 72.9$$ km/c.
Перед падением эта скорость еще увеличилась за счет притяжения Луны. Однако, так как вторая космическая скорость на поверхности Луны (2.4 км/с) много меньше скорости $u_0$ , а по закону сохранения энергии в этом случае складываются квадраты скоростей, эффект оказывается очень слабым. С точностью до первого знака после запятой скорость $u_0$ от притяжения Луны не меняется, оставаясь равной 72.9 км/с. Столь же незначительным оказывается фактор приближения кометного ядра к Земле. Зная плотность и размер кометного ядра, мы можем определить его кинетическую энергию
$$E = \frac{4}{3}\pi\rho r^3 \cdot \frac{u_0^2}{2} = 5.6 \cdot 10^{21} \text{ Дж}.$$
13
Здесь r — радиус ядра. По условию задачи, в оптическое излучение переходит часть $\eta$ этой энергии, высвечиваясь за время t. Отсюда мы получаем среднюю мощность излучения
$$J = \frac{E \cdot \eta}{t} = 9.3 \cdot 10^{18} \text{ Bt}.$$
Определим плотность потока этого излучения на расстоянии Земли:
$$F = \frac{J}{4\pi R^2} = 5.0 \text{ BT / M}^2.$$
Плотность потока от Солнца в оптическом диапазоне составляет $600 \text{ Bt/m}^2$ . Луна слабее Солнца на $14.1^{\text{m}}$ или в $4.4\cdot10^5$ раз, и плотность потока энергии в видимом диапазоне от нее равен $1.37\cdot10^{-3}$ Вт/м2. После падения кометного ядра Луна на минуту станет ярче в 3600 раз.
3. Система опенивания.
1 этап — 2 балла. Нахождение селеноцентрической скорости кометного тела как суммы трех составляющих. Если участник не учитывает орбитальную скорость Луны и ошибается на 1 км/с — оценка уменьшается на 1 балл, если не учтена или неверно учтена одна из двух больших составляющих — этап не засчитывается полностью.
2 этап — 2 балла. Определение мощности оптического свечения Луны после падения кометного ядра. Точность (без учета ошибок на первом этапе) — 5%.
3 этап — 2 балла. Вычисление плотности потока энергии от вспышки на Земле либо соответствующей звездной величины. Точность — 5% (или $0.05^{\rm m}$ ).
4 этап — 2 балла. Вычисление роста видимой яркости Луны во время вспышки. Точность 10%
Ответ
После падения кометного ядра Луна на минуту станет ярче в 3600 раз.