В течение центрального покрытия Луна в своем движении относительно планеты должна пройти угловой путь, равный сумме видимых диаметров Луны и планеты, D+d. Длительность покрытия с частными фазами составит:

$$T = \frac{D+d}{Q-\omega}$$

Здесь $\Omega$ и $\omega$ — угловые скорости движения Луны и планеты. При этом надо учесть, что наблюдения проводятся с поверхности Земли, которая сама перемещается как вследствие орбитального движения, так и осевого вращения Земли. В случае планеты осевое вращение Земли дает малый эффект, так как создаваемая им скорость существенно меньше орбитальных скоростей Земли и планеты. Угловая скорость движения планеты по небу $\omega$ положительна при прямом движении и отрицательна при попятном (вблизи противостояния внешних планет и нижнего соединения для внутренних).

Чтобы найти максимальную длительность явления, рассмотрим, как на нее влияют факторы угловых размеров и движения планет. Угловой размер планеты увеличивает длительность явления, но даже для планет с самыми большими видимыми размерами (около 60'' для Венеры и 50'' для Юпитера) относительный эффект (d/D) составляет порядка 0.03. Обратим внимание, что такие большие размеры Венеры и Юпитера соответствуют их попятному движению, когда величина $\omega$ отрицательна и длительность покрытия уменьшается.

Эффект движения планеты может повлиять на длительность в существенно большей степени. Очевидно, нас интересует момент максимальной угловой скорости ю, который наступает в верхнем соединении планеты (помехи от Солнца мы по условию задачи не учитываем). Максимальная угловая скорость планеты достигается в ее перигелии и составляет

$$\omega = \frac{v_{\rm P} + v_{\rm 0}}{r_{\rm P} + a_{\rm 0}} = \omega_{\rm 0} \frac{1 + \sqrt{a_{\rm 0}(1+e)/a(1-e)}}{1 + a(1-e)/a_{\rm 0}}.$$

Здесь v и $v_0$ – орбитальные скорости планеты и Земли, a и $a_0$ – радиусы их орбит, $\omega_0$ – угловая скорость движения Земли по орбите (0.986°/сут). Максимальная угловая скорость будет у Меркурия ( $a/a_0=0.387,\ e=0.206$ ): $\omega=2.28^\circ$ /сут. Таким образом, этот фактор увеличивает длительность на ( $\omega/\Omega$ ) $\sim 19\%$ , что значительно больше эффекта от видимых размеров планеты.

В случае Луны нам необходимо учитывать осевое вращение Земли, так как его скорость сравнима с орбитальной скоростью Земли. Угловая скорость движения Луны по небу равна

$$\Omega = \frac{\left| \vec{v}_{\rm L} - \vec{v}_{\rm E} \right|}{L_{\rm R}},$$

где $v_{\rm L}$ — орбитальная скорость Луны, $v_{\rm E}$ — скорость движения наблюдателя на поверхности Земли, $L_{\rm R}$ — расстояние от наблюдателя до Луны. Нас интересует наиболее длительное покрытие, соответствующее минимальной угловой скоростью Луны. Рассмотрим идеализированную ситуацию, при которой векторы $v_{\rm L}$ и $v_{\rm E}$ сонаправлены, а модуль скорости $v_{\rm E}$ имеет максимальное значение. Оговоримся, что из-за наклона лунной орбиты к экватору Земли такая ситуация не реализуется в точности, однако она может быть близка к ней, если покрытие происходит в тропической зоне Земли вблизи верхней кульминации Луны у зенита. В этом случае расстояние $L_{\rm R}$ есть разность геоцентрического расстояния Луны L и радиуса Земли $R_{\rm E}$ . Угловая скорость Луны в этом случае есть

$$\Omega = \frac{v_{\rm L} - 2\pi R / T_{\rm E}}{L - R_{\rm E}}.$$

Здесь $T_{\rm E}$ – период осевого вращения Земли. В соответствии со II законом Кеплера в перигее и апогее орбиты линейная скорость Луны равна

$$v_{\rm LP,LA} = \frac{2\pi L_0}{T_{\rm L}} \sqrt{\frac{1 \pm e_{\rm L}}{1 \mp e_{\rm L}}} \approx \frac{2\pi L_0}{T_{\rm L}} (1 \pm e_{\rm L}).$$

Здесь $T_{\rm L}$ – период вращения Луны по орбите, $L_0$ – среднее расстояние от Луны до Земли, $e_{\rm L}$ – эксцентриситет орбиты Луны. Угловая скорость Луны равна

$$\Omega_{\rm P,A} = \frac{2\pi L_0 (1 \pm e_{\rm L}) / T_{\rm L} - 2\pi R_{\rm E} / T_{\rm E}}{L_0 (1 \mp e_{\rm L}) - R_{\rm E}}.$$

Видимый диаметр Луны D равен

$$D_{\rm P,A} = \frac{2R_{\rm L}}{L(1 \mp e_{\rm L})},$$

где $R_{\rm L}$ – радиус Луны. Отсюда мы видим, что хотя в перигее видимый диаметр Луны больше, она будет быстрее проходить его по небу, и нам нужно рассматривать случай апогея Луны. Угловая скорость движения Луны в апогее в описанных выше условиях равна $\Omega_{\rm A} = 6.22^{\circ}/{\rm сут}$ .

Угловой диаметр Луны вблизи зенита для апогея равен 0.498°. В верхнем соединении угловой диаметр Меркурия составляет 5", что учитывать необязательно. Продолжительность покрытия составляет около 3.0 часа.

Необходимо добавить, что в рамках условия задания такое покрытие произойдет в одной точке неба с Солнцем. Однако, продолжительность практически не изменится, если Луна и Меркурий чуть отступят на небе от Солнца, а фактор засветки по условию задания мы в расчет не принимаем. В реальности, Меркурий вблизи верхнего соединения имеет блеск до $-2^{m}$ , есть примеры его обнаружения в телескоп в $3-5^{\circ}$ от Солнца, так что покрытие, близкое к описанному, вполне может наблюдаться.

5. Система оценивания.

$1 \ \underline{\text{этап}} - 1 \ \underline{\text{балл.}}$ Правильное выражение для длительности покрытия Луной планеты. Оно должно учитывать угловые скорости как Луны, так и планеты, а также их угловые размеры. Если в решении опускается фактор движения либо угловых размеров планеты — этап не засчитывается.

2 этап — 1 балл. Вывод о том, что основным фактором, влияющим на длительность покрытия, является угловая скорость планеты, а не ее угловой диаметр. Вывод может быть сделан в явном виде или на основе вычислений для разных планет с учетом обоих факторов.

3 этап — 1 балл. Указание планеты, покрытие которой будет наиболее длительным. Выставляется только при правильном ответе — Меркурий, во всех иных случаях этап не засчитывается

4 этап — 2 балла. Указание правильной конфигурации планеты (верхнее соединение). Ответ «нижнее соединение» либо же просто «соединение», если речь идет о внутренней планете,

правильным не является, оба балла не выставляются. Если участник считает, что планета внешняя (то есть, неправильно выполняет третий этап), то за четвертый этап ему выставляется 1 балл, если указывается конфигурация «соединение».

5 этап – 3 балла. Определение максимальной длительности покрытия, точность 0.3 часа. При ошибке до 0.5 часов за этап выставляется 2 балла, при ошибке до 1 часа – 1 балл.

Вероятная неточность при решении: неучет фактора осевого вращения Земли, то есть фактически решение данной задачи в варианте, предложенном 10 классу. В этом случае при правильном ответе (в варианте 10 класса, 1.24 часа) за последний этап выставляется 1 балл, максимальная оценка – 6 баллов.

Вероятная неточность при решении: неучет эллиптичности орбиты Луны либо же орбиты Меркурия. Вкупе с предыдущей ошибкой мы получаем решение данной задачи в варианте, предложенном 9 классу (ответ 1.10 часа). В этом случае последний этап решения не засчитывается, максимальная оценка составляет 5 баллов. Если же делается только вторая ошибка, то при верных расчетах и ответе порядка 2 часов за последний этап выставляется 1 балл, максимальная оценка – 6 баллов.