№ 9.1ВЫСОКО СИЖУ, ДАЛЕКО ГЛЯЖУ
Условие. Молодой астроном, подходя к своему дому, заметил, что нижний край Солнца только-только коснулся горизонта. Лифт не работал, и астроному пришлось идти пешком на 10 этаж. Когда он зашел в квартиру, то сразу подошел к окну, и оказалось, что нижний край Солнца все также находится на горизонте. Сколько времени астроном мог наблюдать закат из своего окна, если на подъем на один этаж он в среднем тратил 18 секунд? Могло ли это событие произойти в России в день равноденствия? Высота одного этажа равна 3 метра, а первый этаж приподнят на 1 метр над поверхностью земли. Рефракцией пренебречь.
Решение
Для того, чтобы подняться на 10 этаж астроному нужно преодолеть 9 этажей и 1 метр. Значит он поднимается на высоту 1 = 3 · 9 + 1 = 28 метров. Наверх он поднялся за 9 1 3 · 18 = 168 секунд.
Предположим, что рост астронома 2 = 1.7 метра. Понижение горизонта на высоте = 1+2 составляет
$$\cos \Delta h = \frac{R}{R+H}, \quad \Rightarrow \quad \Delta h = \arccos\left(\frac{R}{R+H}\right) \approx 0.175^{\circ} \approx 10.5'.$$
Здесь — радиус Земли. Для простоты вычислений эту формулу можно было упростить, воспользовавшись формулами из справочных данных для приближенных значений функций при малых . Поскольку Δℎ ≪ 1 и / ≪ 1, то
$$\cos \Delta h \approx 1 - \frac{\Delta h^2}{2}, \quad \frac{R}{R+H} = \left(\frac{R+H}{R}\right)^{-1} = \left(1 + \frac{H}{R}\right)^{-1} \approx 1 - \frac{H}{R}.$$
Приравнивая правые части, получим
$$\frac{\Delta h^2}{2} = \frac{H}{R}, \quad \Delta h = \sqrt{\frac{2H}{R}} \approx 0.00305 \text{ рад} \approx 0.175^\circ \approx 10.5'.$$
Заметим, что уже для стоящего прямо на земле наблюдателя уже есть понижение горизонта на 2.5 ′ . Получается, что высота Солнца уменьшилась на 8 ′ за 168 секунд. Поскольку угловой размер Солнца составляет около = 30′ , то закат для астронома будет продолжаться в течение = 630 с или 10.5 мин.
В день равноденствия Солнце находится на небесном экваторе. За время Солнце, двигаясь вдоль небесного экватора из-за суточного вращения небесной сферы, проходит угловое расстояние
$$\gamma = 360^{\circ} \frac{630}{86400} \approx 2.6^{\circ}.$$
За это время Солнце погружается на свой диаметр . Тогда широта места наблюдения
$$\varphi = \arccos\left(\frac{\delta}{\gamma}\right) \approx 79^{\circ}.$$
Параллель 79∘ проходит далеко на севере. Здесь нет городов, а значит, нет высоких зданий. Поэтому описываемые события не могли происходить в день равноденствия.
| 𝐻1
-
Определение высоты 2 балла При ошибке на этом этапе все остальные оцениваются в полном объеме. 2. Время подъема на 10 этаж 1 балл 3. Понижение горизонта. Вывод формул необязателен. 2 балла Если не учтен рост астронома, то 1 балл. 4. Время заката 1 балл 30′ до 33′ Участник может использовать угловой диаметр Солнца от 𝛾 - Определение пути Солнца | 1 балл | | 6. Широта места наблюдения | 2 балла | | 7. Вывод (при правильном предыдущем решении) | 1 балл |