Во время прохождения планета блокирует часть света звезды. Раз кривая блеска имеет «плоское дно», планета полностью заходит на диск звезды и какое-то время перемещается по нему не выходя за край. Пусть и — радиусы звезды и планеты соответственно. Из того, что падение блеска составляет 4 %, следует, что площадь диска планеты составляет 0.04 площади диска звезды. Тогда = 0.2.

Рассмотрим геометрию прохождения планеты. Пусть — минимальное расстояние между центрами дисков планеты и звезды. В момент, когда планета начинает заходить на диск звезды (первое касание) центры звезды и планеты разделяет расстояние + , а когда планета целиком заходит на диск звезды (второе касание) расстояние между центрами уже − . Расстояние, которое проходит планета между вторым и третьим касаниями (начало схода с диска), обозначим как 22, а расстояние между первым и последним касаниями — как 21. Из условия делаем вывод, что 1 = 32.

Из теоремы Пифагора можем записать:

$$L_1^2 = (R+r)^2 - H^2,$$ $L_2^2 = (R-r)^2 - H^2.$
$$(R+r)^2 - H^2 = 9[(R-r)^2 - H^2]$$

Нам неизвестны значения и по отдельности, но известно их отношение. Поэтому мы можем вычислить величину только в долях, например, радиуса звезды . После несложных

преобразований получаем

$$H = \sqrt{R^2 + r^2 - 2.5Rr} = R\sqrt{1 + \left(\frac{r}{R}\right)^2 - 2.5\frac{r}{R}} = R\sqrt{1 + 0.04 - 2.5 \cdot 0.2} \approx 0.73R.$$

За время транзита планета проходит расстояние

$$2L_1 = 2R\sqrt{\left(1 + \frac{r}{R}\right)^2 - \left(\frac{H}{R}\right)^2} = 2R\sqrt{1.2^2 - 0.73^2} \approx 1.9R.$$

По условию эта величина составляет 0.01 длины орбиты, а значит радиус орбиты a можно выразить как

$$\frac{2L_1}{2\pi a} = 0.01, \quad \Rightarrow \quad a = \frac{L_1}{0.01\pi} = \frac{1.9R}{2 \cdot 0.01\pi} \approx 30R.$$

Наклонение орбиты можно выразить из радиуса орбиты и (см. рисунок):

$$\sin i = \frac{H}{a} \approx \frac{0.73R}{30R} \approx 0.024, \quad \Rightarrow \quad i = \arcsin(0.024) \approx 1.4^{\circ}.$$

Максимальная оценка решения, основанного на предположении о том, что угловое рсстояние, которое проходит планета во время частной фазы транзита, равно 2, не превышает 7 баллов (при ответе при ответе примерно 2.7 ∘ ).

1. Продемонстрированное понимание геометрии нецентрального транзита с явным указанием на то, что используемое равенство 2 длины частной фазы является приближением 2 балла

\sin i = \frac{H}{a} \approx \frac{0.73R}{30R} \approx 0.024, \quad \Rightarrow \quad i = \arcsin(0.024) \approx 1.4^{\circ}