Оценим сначала светимость звезды. Воспользуемся законом Стефана-Больцмана:

$$L = 4\pi R^2 \sigma T^4 = 4\pi \cdot (1.4 \cdot 7 \cdot 10^8)^2 \cdot 5.67 \cdot 10^{-8} \cdot 6600^4 = 1.3 \cdot 10^{27} \,\mathrm{Bt}.$$

Поскольку летнее солнцестояние соответствует прохождению апоцентра орбиты, то зимнее солнцестояние по симметрии будет соответствовать прохождению перицентра, тогда интервал между солнцестояниями будет равен половине орбитального периода. Для определения периода необходимо оценить массу звезды. Воспользуемся данной в условии зависимостью, сопоставив параметры звезды с параметрами Солнца. Получим

$$\frac{L}{L_0} = \left(\frac{M}{M_0}\right)^4, \quad \Rightarrow \quad M = M_0 \cdot \left(\frac{L}{L_0}\right)^{1/4} = M_0 \cdot \left(\frac{1.3 \cdot 10^{27}}{4 \cdot 10^{26}}\right)^{1/4} \approx 1.34 M_0.$$

Период обращения находим из третьего закона Кеплера, сопоставив движение планеты и Земли:

$$\frac{(T/T_0)^2}{(a/a_0)^3} = \frac{M_0}{M}, \quad \Rightarrow \quad T = T_0 \sqrt{\frac{M_0}{M}} \sqrt{\left(\frac{a}{a_0}\right)^3} = \sqrt{\frac{3^3}{1.34}} \approx 4.5T_0.$$

Отсюда интервал времени между солнцестояниями равен 2.25 земного года.

В день летнего солнцестояния планета находится на наибольшем удалении от звезды, равном = (1 + ) = 3.9 а. е. Количество энергии от звезды, падающей нормально на квадратный метр площади, составляет

$$E_{\alpha} = \frac{L}{4\pi r_{\alpha}^2} = 3.04 \cdot 10^2 \,\mathrm{Br/m^2}.$$

Высота звезды в полдень на планете в день летнего солнцестояния на широте 55∘ с. ш. равна

$$h_{\alpha} = 90^{\circ} - \varphi + \delta = 90^{\circ} - 55^{\circ} + 23^{\circ} = 58^{\circ}.$$

Тогда зенитное расстояние равно = 90∘ − 58∘ = 32∘ . Значит, за секунду на поверхность

датчика будет попадать энергия, равная

$$J_1 = E_{\alpha} S \cos z_{\alpha} = 3 \cdot 10^2 \cdot 0.04 \cdot \cos 32^{\circ} = 10 \, \text{Дж}.$$

В день зимнего солнцестояния планета находится на наименьшем удалении от звезды, равном = (1 − ) = 2.1 а. е. Количество энергии от звезды, падающей нормально на квадратный метр площади, составляет

$$E_{\pi} = \frac{L}{4\pi r_{\pi}^2} = 1.05 \cdot 10^3 \,\mathrm{Bt/m^2}.$$

Высота звезды в полдень на планете в день зимнего солнцестояния на широте 55о с.ш. равна

$$h_{\pi} = 90^{\circ} - \varphi + \delta = 90^{\circ} - 55^{\circ} - 23^{\circ} = 12^{\circ}.$$

Зенитное расстояние равно = 90∘ −12∘ = 78∘ , тогда за секунду на поверхность датчика будет попадать энергия, равная

$$J_2 = E_{\pi} S \cos z_{\pi} = 1.05 \cdot 10^3 \cdot 0.04 \cdot \cos 78^{\circ} = 8.7 \, \text{Дж}.$$

Разность показаний датчика оказывается весьма малой, около 1.3 Дж.

|------------| | по 1 баллу | | по 1 баллу | | |

Разность показаний датчика оказывается весьма малой, около 1.3 Дж.