Пусть $a_{\rm M}$ и e — большая полуось и эксцентриситет орбиты Марса. Тогда расстояние Марса в афелии, а так же радиус его новой орбиты равен $a'_{\rm M} = a_{\rm M}(1+e)$ . Скорость Марса в афелии равна его скорости на новой круговой орбите. Тогда

$$\sqrt{\frac{GM}{a_{\rm M}}\frac{1-e}{1+e}} = \sqrt{\frac{GM'}{a_{\rm M}'}}.$$

Отсюда определяем, что новая масса Солнца составит M' = M(1 - e).

Из-за потери Солнцем части массы Земля оказалась в перицентре новой орбиты, а ее изначальная полуось стала перигелийным расстоянием. Большая полуось новой орбиты равна $a_3' = a_3/(1-e')$ , где e' — эксцентриситет новой орбиты. Из условия равенства старой круговой и новой перигелийной скорости получаем

$$\sqrt{\frac{GM}{a_3}} = \sqrt{\frac{GM'}{a_3'} \frac{1+e'}{1-e'}} = \sqrt{\frac{GM}{a_3}} (1-e)(1+e') \quad \Rightarrow \quad 1+e' = \frac{1}{1-e} \quad \Rightarrow \quad e' = \frac{e}{1-e} \approx 0.103.$$

Тогда

$$a_3' = a_3 \frac{1 - e}{1 - 2e}.$$

Запишем 3-й закон Кеплера для новой пары Земля-Марс

$$\frac{T'_{\rm M}}{T'_{\rm 3}} = \left(\frac{a'_{\rm M}}{a'_{\rm 3}}\right)^{\frac{3}{2}} = \left(\frac{a_{\rm M}(1+e)}{a_{\rm 3}\frac{1-e}{1-2e}}\right)^{\frac{3}{2}} = \left(\frac{a_{\rm M}}{a_{\rm 3}}\right)^{\frac{3}{2}} \left(\frac{(1+e)(1-2e)}{1-e}\right)^{\frac{3}{2}} = 1.8808 \cdot 0.9713 = 1.8268.$$

Также с помощью 3-го закона Кеплера найдем новый сидерический период Земли:

$$\left(\frac{T_3'}{T_3}\right)^2 = \frac{M}{M'} \left(\frac{a_3'}{a_3}\right)^3 = \left(\frac{1-e}{1-2e}\right)^3 \frac{1}{1-e} \quad \Rightarrow \quad T_3' = T_3 \frac{1-e}{(1-2e)^{\frac{3}{2}}} = 1.2363\,\mathrm{года}.$$

Получаем, что 25 лет $\approx 20.2T' < 21T'$ . Великие противостояния будут происходить тогда, когда Земля будет находиться вблизи афелия своей орбиты. Афелий Земля будет проходить через каждое полуцелое число оборотов n с начального момента времени. Вычислим для каждого такого момента времени число оборотов, совершенных Марсом $n\frac{T_3'}{T_M'}$ . Результаты сведем в таблицу. Нас интересует случай, когда дробная часть числа оборотов Марса максимально близка к 0.5. Это соответствует 15.5 оборотов Земли или 19.16 лет.

| 𝑛 | ′ 𝑇 𝑛 З ′ 𝑇 М | 𝑛 | ′ 𝑇 𝑛 З ′ 𝑇 М | 𝑛 | ′ 𝑇 𝑛 З ′ 𝑇

Расстояние между планетами мало отличается от

$$a'_{\rm M} - a'_{\rm 3}(1 + e') = 0.44 \,\mathrm{a.\,e.}$$

8. Минимальное расстояние 1 балл