Внимательно рассмотрим данную таблицу.

101	98	97	98	99	100	99
99	98	101	170	100	99	97
97	96	766	777	771	102	100
101	190	795	809	802	202	99
100	102	780	791	771	100	95
104	105	98	196	100	99	97
105	104	101	104	102	104	103

Таблица 2: Количество отсчётов. Серым цветом выделены пиксели, на которые попадает изображение звезды.

Мы видим, что изображение звезды занимает на ПЗС-матрице область 3 × 3 пикселя.

То есть размер изображения звезды больше, чем один пиксель матрицы. Для этого есть сразу несколько причин. Первая причина состоит в том, что никакая оптическая система не может построить точечное изображение звезды, и размер изображения точечного объекта

определяется разрешающей способностью объектива:

$$\theta=1.22\frac{\lambda}{D} \; \text{(рад)} \qquad$$ или $\qquad \theta''=\frac{138}{D \; \text{(мм)}}$

Первый вариант формулы дает значение разрешающей способности объектива в радианах, и, чтобы найти ее численное значение нужно знать длину волны, на которой проводятся наблюдения. Обычно при визуальных наблюдениях используют среднее значение длины волны оптического диапазона = 550 нм или 5500 ангстрем. Можно воспользоваться и вторым вариантом формулы, который сразу дает значение разрешающей способности в угловых секундах.

Определим величину разрешающей способности объектива данного телескопа, обозначив ее как 1.

$$\theta_1'' = \frac{138}{200} \approx 0.7''.$$

Вторая причина, почему изображение звезды не является точечным, это качество атмосферы или атмосферное дрожание. Величина этого эффекта задана в условии задачи и равна 1.1 ′′ . Второй эффект является в полтора раза более сильным.

Поскольку эти эффекты независимы друг от друга и величина каждого эффекта является случайной, мы можем работать с ними, как с независимыми источниками случайных ошибок. Тогда суммарный эффект определяется квадратичной суммой и будет равен

$$\theta_{\Sigma}^{"} = \sqrt{\theta_1^2 + \theta_a^2} \approx 1.3$$ ".

Определим размер «неточечности» изображения на ПЗС-матрице, которая расположена в фокальной плоскости телескопа:

$$\theta_{\sum} = \frac{l}{F},$$

где – диаметр пятна в фокальной плоскости телескопа. Определим численно эту величину:

$$l = \frac{\theta_{\sum}}{206265} \cdot F = \frac{1.3 \cdot 2 \cdot 10^6 \text{мкм}}{206265} = 12.6 \text{ мкм}.$$

Снова вернемся к таблице с отсчетами. Так как значения отсчетов в каждом пикселе по горизонтали и по вертикали на центральной оси изображения звезды примерно одинаковы, мы можем считать, что звезда занимает практически все 9 пикселей целиком, и диаметр звезды с хорошей точностью равен 3 пикселям. Следовательно размер одного пикселя

$$x = \frac{l}{3} = 4.2 \text{ MKM}.$$

Теперь определим звёздную величину звезды.

На первый взгляд кажется, что нам нужно просто сложить число всех фотонов, которые попали в 9 выбранных пикселей – 7062 фотона. Но давайте обратим внимание, что значение отсчетов вне изображения звезды не равно нулю, и задумаемся, а почему так? Ответ простой,

на него намекает четвертый вопрос задачи – эти отсчеты связаны с зарегистрированными фотонами от фона неба.

По пикселям вне изображения звезды легко понять, что средняя величина фона неба составляет 100 фотонов на пиксель. Следовательно, в центральных пикселях от самой звезды мы зарегистрировали 0 = 7062 − 900 = 6162 фотона.

В условии задачи сказано, что КПД приемника излучения составляет 86%, а потери света в оптической системе – 10%. Тогда число фотонов от звезды, попавших на зеркало телескопа, составит

$$N = \frac{N_0}{0.86 \cdot 0.9} \approx 7960$$ фотонов

Давайте определим, от каких параметров зависит число фотонов, попадающих на телескоп. Для этого в условии задачи дана еще одна подсказка – от звезды нулевой звёздной величины на 1 см2 в 1 секунду поступает 106 фотонов.

Чем больше выдержка фотографии, тем больше фотонов будет зарегистрировано. Чем больше площадь зеркала (не пикселя), тем больше будет фотонов на приёмнике. Запишем эту зависимость в виде сравнения нашей звезды и звезды нулевой звёздной величины, параметры которой будем обозначать индексом – стандарт:

$$\frac{N_1}{N_s} = \frac{E_1}{E_s} \frac{\Delta t_1 \cdot S_1}{\Delta t_s \cdot S_s}$$

где ∆ = 1 сек, а = 1 см2 . Выразив отсюда отношение освещённостей

$$\frac{E_1}{E_s} = \frac{N_1}{N_2} \cdot \frac{\Delta t_s \cdot S_s}{\Delta t_1 \cdot S_1},$$

можно через формулу Погсона получить разность звёздных величин

$$m_1 - m_s = -2.5 \log \left( \frac{N_1}{N_2} \cdot \frac{\Delta t_s \cdot S_s}{\Delta t_1 \cdot S_1} \right).$$

Подставим значения:

$$m_1 = 0^m - 2.5 \log \left( \frac{7960}{10^6} \cdot \frac{1 \text{ cek} \cdot 1 \text{ cm}^2}{10 \text{ cek} \cdot \pi \cdot (20/2)^2 \text{ cm}^2} \right) = 14^m$$

Наконец, определим фон неба – звёздную величину квадратной секунды неба.

Угловой размер одного пикселя составляет

$$\gamma = \frac{x}{F} = \frac{4.2 \cdot 10^{-6} \text{ M}}{2 \text{ M}} = 2.1 \cdot 10^{-6} \text{ рад} = 0.43''$$

Нам дано по условию, что 60% отсчетов в пикселях фона – это тепловые шумы и шумы считывания, не связанные с фотонами, поступающими из внешнего пространства в оптическую систему. Значит, оставшиеся 40% отсчётов – это и есть отсчёты от фотонов, рассеянных атмосферой Земли, которые и создают фон неба. Значит, в каждый пиксель поступает 40 отсчётов от фона неба. А число таких фотонов, полученных оптической системой, равно

$$N_2 = \frac{40}{0.86 \cdot 0.9} \approx 52$$ фотона на пиксель

Аналогично рассуждениям выше, определим звездную величину, которую создают фотоны фона, попавшие в один пиксель:

$$m_f = 19.5^m$$

Теперь эту величину надо привести к угловой площади неба в 1 квадратную секунду. Одна сторона пикселя имеет угловой размер 0.43′′. Значит, его угловая площадь – 0.18 2′′. Угловая площадь участка неба, фотоны которого попадают на этот пиксель, будет ровно такая же. Следовательно, поверхностная звёздная величина фона будет равна

$$m_{\square''} = m_f + 2.5 \lg S = 17.7^m / \square''$$

$$m_{\square''} = m_f + 2.5 \lg S = 17.7^m / \square''$$