В первую очередь отметим, что расстояние от центра Земли до спутника

$$r = R_{\oplus} + \frac{1}{2}R_{\oplus} = \frac{3}{2}R_{\oplus}.$$

Посчитаем первую космическую скорость Земли:

$$v_I = \sqrt{\frac{GM}{R_{\oplus}}} = 7.9 \, \mathrm{km/c}.$$

Когда спутник будет наблюдаться в зените на экваторе, он будет в 90 градусах от текущего положения. Сейчас его скорость перпендикулярна направлению на центр Земли, то есть он точно находится на линии апсид (перицентр и апоцентр), следовательно, он будет находиться в фокальном параметре.

Восстановим параметры орбиты спутника. Запишем интеграл энергии

$$v_0^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right) = \frac{GM}{R_{\oplus}} \left(2\frac{R_{\oplus}}{r} - \frac{R_{\oplus}}{a}\right).$$

Выделим слева и справа квадрат первой космической скорости:

$$v_I^2 = v_I^2 \left( 2\frac{R_{\oplus}}{r} - \frac{R_{\oplus}}{a} \right) \implies 1 = \frac{4}{3} - \frac{R_{\oplus}}{a} \implies a = 3R_{\oplus}.$$

Текущее расстояние меньше большой полуоси, значит, мы находимся в перицентре:

$$\frac{3}{2}R_{\oplus} = q = a(1-e) = 3R_{\oplus}(1-e) \implies 1-e = \frac{1}{2} \implies e = 0.5.$$

Теперь найдём фокальный параметр

$$p = a(1 - e^2) = a\frac{3}{4} = \frac{9}{4}R_{\oplus}$$

В момент, когда спутник будет пролетать в зените для наблюдателя на экваторе, на наблюдаемое с Земли направление движения спутника будет влиять только трансверсальная составляющая. Найдём её из закона сохранения момента импульса

$$v_0 q = v_\tau p \implies v_\tau = v_0 \frac{q}{p} = \frac{2}{3} v_I = 5.3 \, \text{km/c}.$$

Вообще, не проводя никаких вычислений, можно сказать, что пролетая над экватором спутник будет лететь примерно на юг, то есть на азимут примерно равный нулю. Однако, он в точности не равен нулю, ведь сам наблюдатель двигается.

Относительная скорость складывается из двух ортогональных компонент — скорость спутника и скорость наблюдателя. Можно посчитать верное решение разными способами. Один из вариантов — посчитать отдельно угловую скорость спутника на фоне далёких звёзд и угловую скорость зенита. Угловая скорость относительно далёких звёзд будет делиться на две компоненты — по направлению на юг и на запад. Посчитаем по определению, как разность трансверсальных скоростей (скорость обращения на экваторе есть $\omega_{\oplus}R_{\oplus}=0.46\,\mathrm{km/c}\neq v_I$ и направлена на восток). Также учтём, что для определения скорости относительно зенита, а не далёких звезд, нужно будет вычесть угловую скорость зенита, которая направлена на восток (действительно, ведь звёзды относительно зенита двигаются на запад, к заходу, следовательно зенит относительно звёзд в противоположную сторону, на восток). Заметим, что скорость спутника относительно зенита и скорость зенита относительно звёзд — обе направлены на запад (ведь мы беря относительную скорость вычитаем, тем самым меняем направление). Будем считать положительным направление на юг и на запад соответственно, тогда

$$\omega_{\text{for}} = \frac{v_{\tau}}{p - R_{\oplus}} \quad \omega_{\text{запад}} = \frac{\omega_{\oplus} R_{\oplus}}{p - R_{\oplus}} + \omega_{\oplus} = \frac{\omega_{\oplus} R_{\oplus} + (p - R_{\oplus})\omega_{\oplus}}{p - R_{\oplus}} = \frac{\omega_{\oplus} p}{p - R_{\oplus}}.$$

Как видно из этих формул, сами угловые скорости зависят от расстояния от наблюдателя до спутника, но вот их отношение — не зависит, и равно

$$\frac{\omega_{\text{запад}}}{\omega_{\text{юг}}} = \frac{\frac{\omega_{\oplus}p}{p-R_{\oplus}}}{\frac{v_{\tau}}{p-R_{\oplus}}} = \frac{\omega_{\oplus}p}{v_{\tau}} = \frac{\omega_{\oplus}}{v_{\tau}/p}.$$

$$\operatorname{tg} \theta = \frac{\omega_{\text{запад}}}{\omega_{\text{юг}}} = \frac{\omega_{\oplus} p}{v_{\tau}} = \frac{\frac{9}{4}\omega_{\oplus} R_{\oplus}}{\frac{2}{3}v_{I}} = \frac{27}{8} \frac{0.46 \text{ км/c}}{7.9 \text{ км/c}} \approx 0.19 \implies \theta \approx 11^{\circ}.$$

Скорость повернута к западу, то есть спутник будет лететь в направлении азимута 11°

Можно поступить иначе. Воспользуемся понятием переносной скорости: посчитаем трансверсальную скорость спутника в вращающейся системе отсчёта, связанной с наблюдателем, или, что в таком случае эквивалентно, в вращающейся системе отсчёта, связанной с центром Земли (действительно, в такой системе наблюдатель неподвижен). Переносной скоростью будет угловая скорость вращения Земли помноженная на расстояние от центра Земли до спутника:

$$u = p \cdot \omega_{\oplus} = 1.04 \,\mathrm{km/c}.$$

$$\operatorname{tg} \theta = \frac{u}{v_{\tau}} = \frac{p \cdot \omega_{\oplus}}{v_{\tau}} \implies \theta \approx 11^{\circ}.$$

Направление спутника поворачивается против движения наблюдателя, в ту же сторону, что и далёкие звёзды. Как можно заметить, получилось абсолютно такая же формула и такой же ответ.

Учащийся может неверно перейти из одной системы отчета в другую, забыв, что система вращающаяся. Тогда у него должно получится следующее решение:

Скорость наблюдателя

$$u = \frac{2\pi R_{\oplus}}{\mathrm{сутки}} = 0.46\,\mathrm{km/c}.$$

$$tg \theta = \frac{u}{v_{\tau}} \implies \theta \approx 5^{\circ}.$$

Направление спутника поворачивается против движения наблюдателя, в ту же сторону, что и далёкие звёзды. То есть, к западу, то есть спутник будет лететь в направлении азимута 5°.

Иначе можно трактовать, что в таком решении не учитывается скорость движения зенита относительно далёких звёзд. Такое решение оценивается частичным баллом.

15
. 4
4
7
•

Комментарии к системе оценивания. При решении без учёта движения точки отсчёта азимута (без грамотного перехода во вращающуюся систему отсчёта) оценка за КЗ не превышает 2 баллов.

\frac{9}{4}\omega_{\oplus} R_{\oplus}}{\frac{2}{3}v_{I}} = \frac{27}{8} \frac{0.46 \text{ км/c}}{7.9 \text{ км/c}} \approx 0.19 \implies \theta \approx 11^{\circ}.$$

Скорость повернута к западу, то есть спутник будет лететь в направлении азимута 11°