Пункт 1.

Рис. 1: Взгляд на систему Земля – Солнце с северного полюса.

Пункт 2. Треугольник Земля – Зеркало – Солнце равносторонний. Зеркало прямое, и через него видно отражение Солнца, значит, угол падения будет равен углу отражения. Следовательно, угол между поверхностью и лучом равен 60°.

Пункт 3. Зеркало представляет собой эллипс (овал, рисунок 2), расположенный под углом к наблюдателю. Значит: D – большая ось зеркала, d – малая ось зеркала.

Рис. 2: Форма зеркала.

Наблюдатель видит зеркало круглым. См. рис. 3 и 4. Для того чтобы в зеркало помещалось все Солнце, но и линейные размеры были минимальны, угловой размер зеркала должен соответствовать угловому размеру изображения Солнца.

Рис. 3: Вид из плоскости эклиптики на систему Земля – зеркало – изображение Солнца.

Рис. 4: Вид из полюса эклиптики на систему Земля – зеркало – изображение Солнца.

Изображение Солнца находится на расстоянии 2 а.е., так как солнечным лучам требуется пройти путь от Солнца до Зеркала и потом после отражения до Земли.

$$\frac{d}{1 \; {\rm a.e.}} = \frac{2R_{\odot}}{2 \; {\rm a.e.}} \Rightarrow d = R_{\odot} = 697000 \; {\rm кm}$$ $D = \frac{d}{\sin(60^{\circ})} = 805000 \; {\rm km}$

Решение представлено для случая наблюдения из конкретной точки на Земле (или при пренебрежении размером Земли). Для того, чтобы Солнце можно было наблюдать одновременно из любой точки на Земле, малая ось зеркала увеличивается примерно на величину диаметра Земли. Аналогично, большая полуось увеличивается согласно приведённой выше формуле.

Пункт 4. Зеркальное Солнце отстает от реального на 60° по эклиптике. Поэтому в первом приближении (так как требуется только оценка) можно сказать, что зеркальное Солнце движется но небу со скоростью, равной скорости Солнца, то есть 15°/час. На экваторе в любое время года заход Солнца происходит в 18 : 00 по местному солнечному времени, движение происходит в плоскости, перпендикулярной плоскости горизонта. Значит, Зеркальное Солнце заходит позже реального на 4 часа, в 22 : 00.

В реальности из-за наклона плоскости эклиптики к плоскости экватора время захода изменяется в пределах $22:00\pm17$ минут.

Пункт 5. Заметим, что зеркало изменяет только направление движения солнечных лучей, не меняя их характеристик. Поэтому, так как в зеркало видно полное изображение Солнца, можно считать, что вместо зеркала в том направлении на расстоянии 2 а.е. находится реальное Солнце.

$$I_{Img} = \frac{L_{\odot}}{4\pi (2a_{\oplus})^2}$$

$$m_{Img} - m_{\odot} = 2.5 \log \frac{I_{\odot}}{I_{Img}}$$ $m_{Img} = m_{\odot} + 2.5 \log \frac{L_{\odot} \times 4\pi (2a_{\oplus})^2}{4\pi a_{\odot}^2 L_{\odot}} = m_{\odot} + 2.5 \log 4 = -25, 24^m$

Пункт 6. Первый вопрос. Затмение центральное, значит, относительно Луны зеркальное Солнце пройдет по диаметру Луны. Полная фаза затмения будет от положения 2 до положения 3, см. .

Рис. 5: Взаимное положение Луны и зеркального Солнца во время затмения.

Продолжительность полной фазы затмения отличается для наблюдателей, находящихся в разных точках земного шара. Для случая, когда наблюдатель находится на полюсе Земли, что также соответствует наблюдению из центра Земли, реализуется следующая ситуация:

Угловой размер зеркального Солнца в два раза меньше углового размера Луны. Угловое движение зеркального Солнца относительно звёзд равно $\omega_{\odot} = \frac{360^{\circ}}{365.25} \frac{360^{\circ}}{200} = 0.04^{\circ}/\text{час}$ , а $\omega_{\emptyset} = 0.04^{\circ}/\text{vac}$

$\frac{360^{\circ}}{27.3 \text{ дней}} = 0.55^{\circ}$ /час. Движение зеркального Солнца относительно Луны $\omega = \omega_{\mathbb{Q}} - \omega_{\mathbb{Q}} = 0.51^{\circ}$ /час. Угловое растояние, которое должно пройти зеркальное Солнце относительно Луны, равно разности углового диаметра Луны и углового диаметра зеркального Солнца. Следовательно, продолжительность полной фазы затмения:

$$t = \frac{2\rho_{\text{Луны}} - 2\rho_{Sun}}{\omega} = 31 \text{ мин.}$$

Это оценка дает минимальное время полной фазы центрального затмения.

Если наблюдатель находится в любой другой точке земного шара, требуется учесть угловую скорость Земли в данной точке. Максимальное значение для продолжительности такого затмения реализуется в случае, если наблюдатель находится на экваторе, а затмение происходит в зените.

Мгновенная угловая скорость Луны относительно зеркального Солнца уже будет отличаться от средней угловой скорости Луны:

$$\omega_{\mathbb{C}} = \frac{V_{\mathbb{C}} - V_{\text{пов}}}{d_{\mathbb{C}} - R_{\oplus}} = 360^{\circ} \cdot \left(\frac{60R_{\oplus}}{29.5 \text{cyt}} - \frac{1R_{\oplus}}{1 \text{cyt}}\right) / (59R_{\oplus}) = 0.26^{\circ} / \text{час}$$

Следовательно, продолжительность полной фазы затмения:

$$t = \frac{2\rho_{\text{Луны}} - 2\rho_{Sun}}{\omega} = 62 \text{ мин.}$$

Пункт 7. Так как наклон орбит никто не убирал, два затмения в один месяц случиться не могут, так как у Луны только два узла орбиты – две точки, в которых пересекаются плоскости орбиты Луны и эклиптики, и эти узлы находятся в диаметрально противоположных точках орбиты. Зеркальное Солнце отстоит от реального на 60° по эклиптике, если узел находится в направлении на реальное Солнце, то передвинуться на 60° за месяц он не успеет.

$t = \frac{2\rho_{\text{Луны}} - 2\rho_{Sun}}{\omega} = 62 \text{ мин.}$