Для наступления солнечных затмений должно выполнится два условия:

• А. Луна должна находится в новолунии
• В. Эклиптическая широта Луны $|\beta| \leq \beta_{cr}$

$$\beta_{cr} = \rho_{\odot} + \rho_{0} + p_{0} - p_{\odot} = 88'42''$$

Рис. 6: Условия наступления частного солнечного затмения

В общем случае, последующее затмение может произойти через синодический период Луны или отрезок времени, кратный синодическому периоду. Не обязательно, что после какоголибо солнечного затмения последующее затмение произойдет ровно через один синодический период. Это зависит от второго условия наступления затмения. От того, где именно относительно узла находится Луна в момент исходного затмения, будет зависить положение Луны в момент последующего затмения.

Выпишем из справочных данных значение синодического периода Луны S и драконического периода Луны $T_D$ :

$$S = 29.5306$$ суток $T_D = 27.2122$ суток

Максимальное удаление Луны от узла для наступления частного затмения

$$\sin l_{cr} = \frac{\sin \beta_{cr}}{\sin i} = \frac{\sin 88'42''}{\sin 5^{\circ}09'} \qquad l_{cr} = 16.7^{\circ}$$

Следовательно, полная длина диапазона L возможных значений положения Луны относительно узла составляет

$$L = 2 \cdot l_{cr} = 33.4^{\circ}$$

Рассмотрим эту задачу для случая наступления солнечного затмения через один синодический период.

Определим область допустимых значений l нахождения Луны относительно узла, чтобы через синодический период снова было солнечное затмение.

За один синодический период Луна сместиться относительно узла на расстояние $\Delta l_1$

$$\Delta t_1 = S - T_D = 2.3184 \text{ суток}$$

$\Delta l_1 = w_D \cdot \Delta t_1 = 30.67^{\circ}$

Проинтерпретируем полученный результат. Если, первоначальное затмение было полным и Луна была в узле своей орбиты, то через синодический период Луна сместиться от узла более чем на $30^{\circ}$ и затмения не будет. Но если Луна находится в самом начале интервала возможных расстояний от узла l, то возможна ситуация, что строго через один синодический период снова будет затмение, но уже в конце указаного диапазона

Рис. 7: Для определения величины 1

Проанализировав изменение положения Луны за один синодический период мы пришли к выводу, что последующее затмение будет возможно, только если Луна изначально находилась в определенной области возможных положений.

$$x = L - \Delta l_1 = 33.40^{\circ} - 30.67^{\circ} = 2.73^{\circ}$$

Рис. 8: Случай одного синодического периода. Заштрихованная область – это область, в которой должна находится Луна при первом затмении, что через один синодический период также было затмение.

Поскольку, изначальное положение Луны может быть случайным, то есть любым, то отношение длин(величин) диапазонов и будет давать вероятность распределения периодов последующих затмений.

Отсюда уже видна механика решения. Проанализуем периоды времени, кратные синодическому периоду до того момента, пока у нас не заполниться вся первоначальная область допустимых значений величины l.

Два синодический периода. Смещение относительно узла составить $\Delta l_2 = 2 \cdot \Delta l_1 = 2 \cdot 30.67^{\circ} = 61.34^{\circ}$ . При таком смещении Луны от узла никакого затмения не будет.

Также произойдет с тремя и четыремя синодическими периодами. А вот при интервале времени в пять синодических периодов Луна окажется вблизи противоположного узла. Посчитаем этот случай.

Смещение составляет $\Delta l_5 = 5 \cdot \Delta l_1 = 153.35^{\circ}$ .

Предположим, что изначальное затмение произошло в самой далекой точки от узла, уже после его прохождения. Тогда после пяти синодических периодов

$$l_{max5} = 16.70^{\circ} + 153.35^{\circ} = 170.05^{\circ}$$

То есть, Луна оказалась внутри области, где возможны солнечные затмения. Поскольку нас интересует возможные значения величины l исходного затмения, то нас устраивает диапазон

Рис. 9: Случай пяти синодических периодов. Заштрихованная область – это область, в которой должна находится Луна при первом затмении, что через пять синодический период также было затмение.

При шести синодических периодах смещение Луны составит $\Delta l_6 = 184.02^{\circ}$ . То есть Луна также будет у противоположного узла своей орбиты.

В этом случае нас устроит диапазон

Рис. 10: Случай шести синодических периодов. Заштрихованная область – это область, в которой должна находится Луна при первом затмении, что через щесть синодический период также было затмение.

Обратите внимание, что диапазон для 1 и 6 синодических периодов пересекаются. Но, в условии задачи спрашивают про наступление последующего затмения. И если при изначальном затмении Луна была в области, где возможно наступление затмения через 1 и 6 синодических периодов, то последующее затмение – это затмение через 1 периодов.

Итоговый результат

Период	Вероятность
1S	8.2%
5S	20.3%
6S	71.5%

Рис. 11: Итоговое распределение

Сравним с расчетами последних 11 897 солнечных затмений.

Период	число затмений	Процент
1S	1 361	11.4%
5S	2 743	23.1%
6S	7 793	65.5%

Небольшие расхождения, которые мы видим, определяются эксцентриситетом лунной орбиты и не постоянной угловой скоростью. А также вековыми изменения параметров орбиты Луны.

Период	Вероятность
1S	8.2%
5S	20.3%
6S	71.5%