Поскольку звезды находятся в устойчивом гидростатическом равновесии, попытка вывести их из него приводит к возврату в исходное состояние: если звезду сжать, она расширится, если расширить — сожмется. При отсутствии диссипации энергии звезда будет сколь угодно долго колебаться около положения равновесия, и особенность цефеид (и других звезд, совершающих радиальные пульсации) в том, что в них есть механизм, компенсирующий диссипацию энергии в нужные моменты времени (превращающий тем самым звезду в автоколебательную систему). Оценим период таких колебаний, что можно сделать несколькими различными способами.

Пусть на поверхности звезды массы $\mathfrak{M}$ и радиуса R находится тонкий слой вещества массы m. Его движение вдоль радиуса r будет определяться уравнением

$$m\ddot{r} = -\frac{G\mathfrak{M}(r)m}{r^2},$$

где $\mathfrak{M}(r)$ — масса звезды, заключенная в пределах радиуса r.

Будем считать, что плотность звезды постоянна и равна $\rho$ (что, конечно, неверно, но в интересующем нас случае важнее примерное постоянство плотности звезды у поверхности, а это в случае цефеид является вполне неплохим приближением). Перепишем уравнение движения с учетом этого и получим

$$\ddot{r} = -\frac{4\pi G\rho r^3}{3r^2} = -\frac{4\pi G\rho}{3} \cdot r$$

или

$$\ddot{r} + \frac{4\pi G\rho}{3} \cdot r = 0. \tag{1}$$

Получившееся очень похоже на уравнение гармонического осциллятора $\ddot{r} + \omega^2 r = 0$ , поэтому отсюда можно сделать вывод, что период колебаний

$$P = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{4\pi G\rho}{3}}} = \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}} \propto \rho^{-1/2}.$$ (2)

В принципе, уже на стадии записи уравнения движения можно заметить, что характерный период пульсаций должен совпасть с динамическим временем для звезды (и временем ее облета по низкой круговой орбите), после чего получить тот же результат.

Другой способ получения периода — метод размерностей. Поскольку колебания механические и температура, по условию, не меняется, сразу же можно сделать вывод, что период должен оказаться произведением $G, \mathfrak{M}$ и R в каких-то степенях, имеющим размерность времени. Пусть

$$[P] = [G]^{\alpha} \cdot [\mathfrak{M}]^{\beta} \cdot [R]^{\gamma},$$

где квадратными скобками обозначена операция взятия размерности, а $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ — некоторые неизвестные величины. Используя стандартные обозначения размерности длины, массы и времени L, M, T, получим, что

$$T^{1} = \frac{L^{3\alpha}}{T^{2\alpha} M^{\alpha}} \cdot M^{\beta} \cdot L^{\gamma},$$

откуда

$$\begin{cases} 3\alpha + \gamma = 0 \\ -\alpha + \beta = 0 \\ -2\alpha = 1 \end{cases}$$

и $\alpha=-1/2,\ \beta=-1/2,\ \gamma=3/2.$ Это означает, что $P\propto\mathfrak{M}^{-1/2}\cdot R^{3/2},$ что эквивалентно уже полученному нами выводу $P\propto\rho^{-1/2}.$

Теперь воспользуемся тем, что светимость звезды при постоянной эффективной температуре $\mathfrak{L} \propto R^2$ . Нам надо связать между собой средние плотность и радиус цефеиды, для чего надо вспомнить, что светимости классических цефеид (средние) отличаются на порядки, а диапазон их возможных масс невелик. В рамках изотермической модели отсюда можно сделать вывод, что изменение средней плотности обусловлено только изменением среднего радиуса — проше говоря, считать массы цефеид примерно одинаковыми.

Тогда, поскольку при фиксированной массе звезды $R \propto \rho^{-1/3}$ , а плотность связана с периодом как $\rho \propto P^{-2}$ , получаем, что

$$\mathfrak{L} \propto R^2 \propto \rho^{-2/3} \propto P^{4/3}$$ или $\mathfrak{L} = \mathrm{const} \cdot P^{4/3}.$

Абсолютная звездная величина определяется как

$$M = -2.5 \lg \mathfrak{L} + \text{const}$$

(все обозначенные как const константы в общем случае разные, такое обозначение позволяет не вводить в решение множество постоянных величин, используемых ровно один раз), поэтому зависимость между абсолютной звездной величиной и периодом будет иметь вид

$$M = -2.5 \lg(\text{const} \cdot P^{4/3}) + \text{const} = -2.5 \cdot \frac{4}{3} \cdot \lg P + \text{const} = -\frac{10}{3} \lg P + C.$$

Последнюю «накопившуюся» константу мы обозначим C, поскольку ее значение, в отличие от предшествующих, нам надо найти. Сделать это можно, подставив в полученное выражение данные о цефеиде с 20-суточным периодом:

$$C = M_0 + \frac{10}{3} \lg P_0 = -6 + \frac{10}{3} \lg 20 \approx -1.7.$$

Теперь мы готовы записать окончательный ответ:

$$M = -3^m . 3 \lg P - 1^m . 7.$$

Заметим, что полученный результат верен для фотометрической полосы (средняя длина волны 1.2 м).

$M = -3^m . 3 \lg P - 1^m . 7.$