Начнем с составления плана действий.

Аккреция в системе не идет, что означает, что большая по массе звезда (будем ее для определенности называть «основной») по размеру меньше своей полости Роша. Поскольку ее эффективная температура нам дана, это означает, что ее светимость определяется ее размерами, и максимальной она будет при достижении максимальных размеров — иначе говоря, нас интересует пограничный случай, когда звезда практически полностью занимает свою полость Роша. Поэтому нам надо найти большую полуось системы (это можно сделать, зная массы компонент и орбитальный период) и, зная массы компонент, найти характерные размеры полости Роша для основной компоненты. После этого мы сможем найти ее светимость и тем самым решить задачу, поскольку с имеющейся небольшой точностью исходных данных (в частности, эффективной температуры звезды) вкладом светимости белого карлика в общую светимость системы явно можно будет пренебречь.

Вычислим большую полуось системы а. Для этого воспользуемся III законом Кеплера

$$\frac{P^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G(\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2)}$$

в системе единиц «астрономическая единица — масса Солнца — год» (в ней $G=4\pi^2$ ). Тогда

$$a = \sqrt[3]{4 \cdot \left(\frac{15}{365}\right)^2} \approx 0.19 \text{ a.e.}$$

Теперь нам надо оценить размеры полости Роша основной звезды. Хорошо известное приближение для расчета положения первой точки Лагранжа тут, по-видимому, не годится: оно получено в предположении, что массы звезд существенно отличаются, что в нашем случае неверно. Поэтому попробуем решить задачу в общем виде.

Пусть радиусы орбит компонент с массами $\mathfrak{M}_1$ (основной компаньон) и $\mathfrak{M}_2$ вокруг общего центра масс равны $r_1$ и $r_2$ соответственно. Мы знаем, что $r_1+r_2=a$ , а из условия, что это расстояния от центра масс, можем записать соотношение $\mathfrak{M}_1r_1=\mathfrak{M}_2r_2$ . Отсюда легко получить, что $r_1=\frac{3}{4}a$ и $r_2=\frac{1}{4}a$ .

Ограничивающие полость Роша коллинеарные точки Лагранжа выделены тем, что для них суммарные ускорения, действующие на пробную частицу во вращающейся вместе с двумя основными телами системе отсчета, должны равняться нулю. Поэтому введем координату $a \cdot x$ , задающую положение точки Лагранжа по отношению к центру масс, как на рисунке:

(тем самым величина x у нас станет безразмерной, выраженной в единицах большой полуоси) и запишем уравнение, задающее условие равенства суммарного ускорения нулю в точке $L_1$ (с координатой $x_1$ ):

$$-\frac{G\mathfrak{M}_1}{(r_1 + ax_1)^2} + \frac{G\mathfrak{M}_2}{(r_2 - ax_1)^2} + \omega^2 ax_1 = 0.$$

Угловая скорость вращения системы $\omega$ однозначно определяется орбитальным периодом, поэтому ее квадрат можно выразить как

$$\omega^2 = \left(\frac{2\pi}{P}\right)^2 = \frac{G(\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2)}{a^3}.$$

Подставив все, что мы уже знаем, в уравнение для суммарного ускорения, получим

$$-\frac{G \cdot 3\mathfrak{M}_2}{a^2 \left(\frac{1}{4} + x_1\right)^2} + \frac{G\mathfrak{M}_2}{a^2 \left(\frac{3}{4} - x_1\right)^2} + \frac{G \cdot 4\mathfrak{M}_2}{a^2} x_1 = 0$$

и обнаружим, что после сокращения всего, что можно, уравнение сводится к виду

$$-\frac{3}{\left(\frac{1}{4}+x_1\right)^2}+\frac{1}{\left(\frac{3}{4}-x_1\right)^2}+4x_1=0,$$

причем нас интересует его вещественный корень, удовлетворяющий условию $0 < x_1 < 1$ .

С одной стороны, это уравнение 5-й степени и решать его аналитически проблематично. С другой — нам нужна небольшая точность, так что найти ответ можно просто перебором по 0.1, а затем сгустив сетку перебора рядом с примерно найденным значением корня. Оно окажется равным $x_1 \approx 0.36$ .

Тем самым оценка на максимальный радиус основной звезды системы имеет вид $R = \left(\frac{1}{4} + 0.36\right) a \approx 0.12$ а.е. Осталось вычислить ее светимость в светимостях Солнца, для чего мы воспользуемся стандартным соотношением

$$\frac{L}{L_{\odot}} = \left(\frac{R}{R_{\odot}}\right)^2 \cdot \left(\frac{T}{T_{\odot}}\right)^4 \approx 1.5 \cdot 10^2.$$

Поскольку светимости подавляющего большиства белых карликов меньше даже одной светимости Солнца, в суммарной светимости системы учитывать светимость белого карлика действительно нет никакого смысла. Крайне редко наблюдаются белые карлики с эффективными температурами до $10^5~{\rm K}$ , однако малый радиус карлика приведет к тому, что даже в этом случае светимость не превысит единиц светимостей Солнца, что с имеющейся точностью исходных данных в итоговом ответе учитывать бесполезно.

\frac{L}{L_{\odot}} = \left(\frac{R}{R_{\odot}}\right)^2 \cdot \left(\frac{T}{T_{\odot}}\right)^4 \approx 1.5 \cdot 10^2.