Как мы знаем, в общем случае в замкнутой системе сохраняется полный момент импульса. Полный момент импульса системы «Земля — Луна», которую с достаточной точностью можно считать замкнутой, состоит из трех компонент: момента импульса Луны, связанного с ее обращением вокруг Земли по орбите, момента импульса, связанного с вращением Земли вокруг своей оси, и момента импульса, связанного с вращением Луны вокруг своей оси. Сразу же можно заметить, что третий компонент крайне мал — масса Луны намного меньше массы Земли, вращается вокруг своей оси она существенно медленнее, так что для оценки им можно пренебречь. Тогда изменение момента, связанного с вращением Земли вокруг своей оси, должно равняться изменению орбитального момента Луны.

Заметим, что полная механическая энергия не сохраняется: механизм приливного торможения Земли «работает» за счет того, что перемещение приливных «горбов» не может происходить без диссипации энергии из-за вязкости (трения), что приводит к тому, что часть механической энергии системы переходит в тепловую. В принципе, воспользовавшись теоремой вириала, можно показать, что ровно половина потерянной Землей кинетической энергии вращения будет потрачена на увеличение потенциальной энергии системы «Земля-Луна» (проще говоря, на удаление Луны от Земли), а вторая половина — на нагрев Земли, но такой способ решения задачи, хотя и возможен, заведомо слишком сложен.

Запишем закон сохранения момента импульса, считая, что Луна движется вокруг Земли по круговой орбите с радиусом r (при движении по эллиптической орбите в задаче одного притягивающего центра орбитальный момент не меняется, так что мы тем самым ничего не испортим), а Земля имеет момент инерции, равный $I_{\oplus} = \varkappa M_{\oplus} R_{\oplus}^2$ (чему равен коэффициент $\varkappa$ , обсудим чуть позже).

Полный момент импульса системы имеет вид:

$$J = \varkappa M_{\oplus} R_{\oplus}^2 \omega_{\oplus} + r M_{\emptyset} v_{\emptyset} = \text{const},$$

тут $\omega_\oplus$ — угловая скорость вращения Земли, а $v_{\mathbb{C}}$ — орбитальная скорость Луны, которую можно вычислить как $v_{\mathbb{C}} = \sqrt{\frac{GM_\oplus}{r}}$ . Тогда

$$J = \varkappa M_{\oplus} R_{\oplus}^2 \omega_{\oplus} + M_{\emptyset} \sqrt{G M_{\oplus} r}.$$

Так как суммарный момент — константа, увеличение одного из слагаемых должно полностью компенсироваться уменьшением другого. Для удобства вычислений найдем дифференциал обеих частей равенства. Поскольку суммарный момент — константа, то dJ=0 и

$$\varkappa M_{\oplus} R_{\oplus}^2 d\omega_{\oplus} + \frac{M_{\emptyset}}{2} \sqrt{\frac{GM_{\oplus}}{r}} dr = 0.$$

11 класс

Это выражение связывает между собой малое изменение радиуса орбиты dr и малое изменение угловой скорости вращения Земли $d\omega_{\oplus}$ .

Аналогичным образом выразим $d\omega_{\oplus}$ через изменение периода вращения Земли T.Поскольку $T \cdot \omega_{\oplus} = 2\pi$ (по окружности точка проходит именно столько радианов за период), дифференцируя, получаем $Td\omega_{\oplus} + \omega_{\oplus}dT = 0$ , а отсюда следует, что

$$d\omega_{\oplus} = -\frac{dT}{T} \cdot \omega_{\oplus} = -\frac{2\pi dT}{T^2}.$$

Объединяя полученные результаты, запишем

$$\varkappa M_{\oplus} R_{\oplus}^2 \, \frac{2\pi dT}{T^2} = \frac{M_{\mathbb{C}}}{2} \sqrt{\frac{GM_{\oplus}}{r}} \, dr$$

откуда

$$dT = \frac{T^2}{2\pi \varkappa M_{\oplus} R_{\oplus}^2} \cdot \frac{M_{\Diamond}}{2} \sqrt{\frac{GM_{\oplus}}{r}} \, dr.$$

В принципе, можно сразу подставлять сюда численные данные, но можно и немного упростить себе вычисления, преобразовав выражение к виду

$$dT = \frac{T}{\varkappa M_{\oplus} R_{\oplus} v_{\text{akb}}} \cdot \frac{M_{\emptyset}}{2} \sqrt{\frac{GM_{\oplus}}{r}} dr = \frac{T}{2\varkappa R_{\oplus}} \cdot \frac{M_{\emptyset}}{M_{\oplus}} \cdot \frac{v_{\emptyset}}{v_{\text{akb}}} dr,$$

где $v_{\text{экв}}$ — линейная скорость движения точек на экваторе Земли (из-за вращения Земли вокруг своей оси), а $v_{\alpha}$ — орбитальная скорость Луны.

Осталось определиться со значением коэффициента х. Если бы Земля была однородным шаром, то этот коэффициент равнялся бы $\frac{2}{5}$ , но в реальности плотность Земли максимальна в ее центре и убывает к поверхности, что немного уменьшает результат. Весьма точная оценка — $\varkappa = 0.3$ .

Теперь подставляем данные, учитывая, что нас интересует оценка (т.е. вполне хватит одной значащей цифры), орбитальная скорость Луны (примерно 1 км/с) в 2 раза больше линейной скорости точек на экваторе Земли, а отношение масс Земли и Луны равно $8 \cdot 10^1$ . Нас интересует изменение продолжительности суток за 100 лет, поэтому dr = 4 м:

$$dT = \frac{8.6 \cdot 10^4 \text{ c}}{2 \cdot 3 \cdot 10^{-1} \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ m}} \cdot \frac{2}{8 \cdot 10^1} \cdot 4 \text{ m} \approx 2 \cdot 10^{-3} \text{ c}.$$

Это и есть ответ. Заметим, что он в точности совпадает с реальными данными о замедлении вращения Земли, получаемыми с помощью радиоастрометрических наблюдений.

2 \cdot 10^{-3} \text{ c}.