Сначала отождествим объекты на фото. Внизу кадра находится Международная космическая станция, её можно легко опознать по характерной форме солнечных батарей. В верхней

части кадра находится некоторый объект сферической формы в малой фазе. По фазе объекта можно сразу определить, что это не внешний объект Солнечной Системы, и уж тем более не объект за её пределами. Также можно понять, откуда сделано фото: если мы предположим, что сделано оно было не с поверхности Земли, а на подлете к МКС, и отождествим сферический объект как Луну, то получим характерный размер МКС 15 − 20′ , что соответствует расстоянию до станции в 15 − 20 км. При таком расстоянии мы бы не получили настолько размытое и некачественное фото станции, а, значит, расстояние до неё существенно больше, а объект на фото не является Луной. В итоге получаем, что фото было снято с поверхности Земли. Проведем оценку его углового размера, сравнивая с возможными угловыми размерами МКС. Для этого сначала поймем, под каким углом к нам видна станция. Заметим, что прямые углы солнечных батарей на фото остались прямыми, а значит, сжатие из-за поворота станции относительно картинной плоскости, если оно и есть, происходит только по ширине или длине. Измерим их соотношение на фото. Получили 9.0 усл. ед. в длину и 6.5 усл. ед. в ширину.

$$\frac{6.5}{9} = 0.72 > \frac{73}{109} = 0.67$$

Получается, что на фото соотношение ширины и длины немного больше, чем в реальности, то есть станция слегка повернута так, что ее кажущаяся длина чуть меньше реальной, а ширина практически не искажена. Значит, именно значением ширины станции мы будем пользоваться при дальнейших расчетах. Также мы будем использовать значение для длины МКС, если бы она располагалась в картинной плоскости. Оно равно 9.0 · 0.72/0.67 = 9.7 усл. ед.

Определим возможные угловые размеры МКС при наблюдении с поверхности Земли:

$$\alpha_{max} = \frac{l}{H} = \frac{109}{400 \cdot 10^3} = 56^{''}$$ — максимальный угловой размер МКС, в зените.

$$\alpha_{min}=\frac{l}{\sqrt{(R_\oplus+H)^2-R_\oplus^2}}=\frac{109}{2290}=10^{''}$$ — минимальный угловой размер, у горизонта.

При этом диаметр верхнего объекта равен 14.2 усл. ед. Таким образом, его угловой размер составляет от 15′′ (в случае минимального размера МКС) до 80′′ (при максимальном размере МКС). Значит, нам не подходят ни Луна (угловой размер около 0.5 ∘ , ни Меркурий (максимальный угловой размер 11′′). Таким образом, остаётся единственный возможный кандидат на объект сверху на фото – Венера.

Теперь мы можем более точно определить угловой масштаб фотографии, для этого определим фазу Венеры. Измерим диаметр планеты и хорду, проведенную по касательной к внутренней части серпа в самом толстом его месте. Получим, что длина хорды равна 0.79 радиуса Венеры. Значит, по теореме Пифагора можно найти фазу:

$$\Phi = \frac{1}{2R} \left( R - \sqrt{R^2 - (0.79R/2)^2} \right) = 0.041$$

Тогда фаза равна 0.041, а фазовый угол – 156.6 ∘ . Острые углы при Солнце () и Земле () можно найти из системы уравнений:

$$\gamma + \beta = 180^{\circ} - 156.6^{\circ} = 23.4^{\circ}$$

$$\frac{\gamma}{\beta} = \frac{a_{\oplus} - a_{\Diamond}}{a_{\Diamond}} = 0.39$$

Отсюда получаем = 16.8 ∘ – угловое расстояние от Венеры до Солнца. = 6.6 ∘

Вычислим более точное расстояние до Венеры:

$$r = \sqrt{a_{\oplus}^2 + a_{venus}^2 - 2a_{\oplus}a_{venus}\cos\gamma} = 0.30 \ a.e.$$

Угловой размер Венеры:

$$\alpha_{\mathbb{Q}} = \frac{2 \cdot 6050}{0.30 \cdot 1.5 \cdot 10^8} = 55.5''.$$

Получаем масштаб снимка: 1 усл. ед. = 3.9′′. На расстоянии МКС 109 метров видны под углом 3.9 · 9.7 = 37.9 ′′. А расстояние от наблюдателя до МКС равно 1 = 590 км.

В треугольнике «МКС – наблюдатель – центр Земли» запишем теорему косинусов и выразим угол при наблюдателе:

Ранее мы уже получили угловое расстояние между Венерой и Солнцем, оно равно 16.8 ∘ . Расстояние между Венерой и МКС составляет порядка 5 ′ и с нашей точностью пренебрежимо мало. Измерим угол в картинной плоскости с центром в Венере между направлениями на зенит и на Солнце. Сделать это можно, проведя вертикальную прямую (в направлении зенита,

Рис. 2: Взаимное расположение планет и Солнца

Рис. 3: Расположение МКС относительно точки проведения съемки

так как по условию горизонтальные линии - альмукантараты) и перпендикуляр к линии, соединяющей концы серпа Венеры(направление на Солнце) и измерив угол между этими линиями. Этот угол получился равным = 77∘ .

Для треугольника «Венера – Солнце – зенит» запишем сферическую теорему косинусов и найдем таким образом высоту Солнца:

$$\cos(90^{\circ} - h_{\odot}) = \cos(90^{\circ} - h_{\text{mkc}})\cos\beta + \sin(90^{\circ} - h_{\text{mkc}})\sin\beta\cos\theta$$

$$h_{\odot} = \arcsin(\sin h_{\text{mkc}} \cdot \cos \beta + \cos h_{\text{mkc}} \sin \beta \cos \theta) = 42.4^{\circ} \sim 42^{\circ}$$

Если же мы считаем, что фото перевернуто и горизонт находится сверху, то теорема косинусов примет следующий вид:

$$\cos(90^{\circ} - h_{\odot}) = \cos(90^{\circ} - h_{\text{MKC}})\cos\beta + \sin(90^{\circ} - h_{\text{MKC}})\sin\beta\cos(180^{\circ} - \theta)$$

$$h_{\odot} = \arcsin(\sin h_{\text{mkc}} \cdot \cos \beta + \cos h_{\text{mkc}} \sin \beta \cos(180^{\circ} - \theta)) = 35.2^{\circ} \sim 35^{\circ}$$

Итоговый ответ: высота Солнца составляет 42∘ или 35∘ в зависимости от ориентации картинки.

$$h_{\odot} = \arcsin(\sin h_{\text{mkc}} \cdot \cos \beta + \cos h_{\text{mkc}} \sin \beta \cos \theta) = 42.4^{\circ} \sim 42^{\circ}$$