Прежде чем что-то снимать с изображения, проанализируем, что нам представлено.

На чертеже обозначена точка А – проекция вершины гномона на плоскость стены. Размечена часовая сетка, и линия XII – XII является вертикальной, потому что азимут Солнца в момент верхней кульминации одинаковый во все дни года. В остальное время, например, в 11 часов, азимут Солнца в разные дни года будет разный.

Определимся с полушарием. Суточное движение Солнца происходит с востока на запад в обоих полушариях. И если полушарие северное, то часовые отметки должны быть расположены на стене слева направо. А в южном полушарии – наоборот. Видим, что перед нами часы для северного полушария.

Две кривые, размеченные римскими цифрами, – это точки, где заканчивается тень гномона. В отличие от горизонтальных солнечных часов, тень на вертикальных часах тем длиннее, чем выше Солнце. Ближняя к гномону граница тени соответствует дню зимнего солнцестояния в северном полушарии, дальняя граница (видна частично с отметками от VIII до XII) соответствует дню летнего солнцестояния. Прямая линия посередине между ними – это траектория, по которой двигается конец тени в дни равноденствий.

Если бы стена стояла строго по линии восток – запад, а гномон был направлен строго на юг, то картинка была симметричной относительно вертикальной оси рисунка.

Для поиска широты нам нужно рассмотреть плоскость небесного меридиана, которая содержит в себе линию XII-XII.

Первый этап. Определение широты.

Проанализируем размер тени по полуденной линии (XII-XII) в дни равноденствий и солнцестояний. Рассмотрим следующий рисунок, на котором покажем, как образуются тени в дни равноденствий и солнцестояний. Линия QPW – вертикальная поверхность стены. Точка D – вершина гномона, P – тень в дни равноденствий, Q и W – тени в дни зимнего и летнего солнцестояний. Угол — угол наклона плоскости эклиптики к небесному экватору.

Измерим отрезки = = 16 мм и = = 50 мм по рисунку, данному в условии. Далее запишем теорему синусов для треугольника PQD:

$$\frac{d}{\sin(23.5^\circ)} = \frac{DP}{\sin(\alpha)}.$$

Также запишем теорему синусов для треугольников PWD:

$$\frac{f}{\sin(23.5^\circ)} = \frac{DP}{\sin(\beta)}.$$

Для треугольника QDW применим теорему о сумме углов:

$$\alpha + \beta = 180^{\circ} - 2\varepsilon = 180^{\circ} - 2 \cdot 23.5^{\circ} = 133^{\circ}.$$

Теперь запишем отношение выражений, полученных из теоремы синусов:

$$\frac{\frac{d}{\sin(23.5^\circ)}}{\frac{f}{\sin(23.5^\circ)}} = \frac{\frac{\rho}{\sin(\alpha)}}{\frac{\rho}{\sin(\beta)}}.$$

Таким образом получаем:

$$\frac{d}{f} = \frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha)} = \frac{\sin(133^{\circ} - \alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{\sin(133^{\circ})\cos(\alpha) - \cos(133^{\circ})\sin(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{\sin(133^{\circ})}{\operatorname{tg}(\alpha)} - \cos(133^{\circ}),$$

$$tg(\alpha) = \frac{\sin(133^{\circ})}{d/f + \cos(133^{\circ})} \approx -2.02.$$

В итоге получаем значения = 116∘ и = 133∘ − = 17∘ .

Теперь рассмотрим треугольник PKW. Его внешний угол ∠ можно найти как сумму углов ∠ = 90∘ и ∠ = . Получаем ∠ = 90∘ + = 107∘ . Используя теорему о сумме углов для треугольника PKS, получим:

$$\varphi = 90^{\circ} - (180^{\circ} - \angle PKD - \varepsilon) = 107^{\circ} + 23.5^{\circ} - 90^{\circ} = 40.5^{\circ} \text{ c.iii.}$$

.

Теперь перейдем ко второму вопросу задачи. Определим угол поворота стены от линии «восток – запад». Обозначим этот угол за .

Мы можем решать стереометрическую задачу и подумать над какой-то плоскостью, в которой искомый угол можно представить максимально удобно. В качестве такой плоскости возьмем плоскость параллельную горизонту и проведем ее через точку А.

Проекция этой плоскости на рисунок – горизонтальная линия, проходящая через точку А и точку пересечения линии равноденствий и линии VI – VI. Обозначим эту точку V, сюда указывает тень гномона в момент восхода Солнца в дни равноденствий.

Теперь выполним построение в этой плоскости. Отрезок VD соответствует направлению запад-восток. Точка ′ – проекция точки B на луч VA. Отрезок BD направлен вдоль оси мира в сторону юга. Значит его проекция ′ лежит в плоскости горизонта и направлено на точку юга. Следовательно ′ ⊥ .

Для треугольника

$$tg \alpha = \frac{AD}{AV}$$

Рис. 5: Поясняющая схема ко второму вопросу задачи. Рисунок в плоскости параллельной горизонту и проходящей через точку А.

Для треугольника ′

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{AB'}{AD}.$$

Избавимся от :

$$tg^2 \alpha = \frac{AB'}{AV}.$$

Снимем данные со шкалы: = 52 мм, ′ = 8 мм. Тогда угол ≈ 21∘ .

То есть нормаль к плоскости стены повернута на −21∘ относительно направления на юг по азимуту, или 21∘ на восток.

Альтернативные решения.

Можно было действовать и по-другому. Заметим, что прямая, соответствующая времени 10 часов, идёт точно в точку . Значит, любой объект, образующий точки на этой прямой и её продолжении, имеет часовой угол −30∘ . Рассмотрим гипотетическое Солнце, в предположении, что его склонение могло бы быть и меньше, чем −. Тогда тень от вершины гномона придёт в точку A, когда такое Солнце окажется на горизонте. При этом, так как точка A лежит на прямой 10 часов, часовой угол Солнца в этот момент будет равен −30∘ . Также из вида картинки мы понимаем, что гномон смотрит в восточную область. Понятно, что азимут такого Солнца в момент, когда тень от вершины гномона будет в точке A, и есть азимут, на который показывает гномон. Осталось найти азимут такого Солнца. Используем формулы для часового угла/азимута восхода/захода:

$$\cos t = -\tan \varphi \tan \delta.$$

Подставляя известные нам и , получаем = −45.4 ∘ . В итоге получаем азимут восхода Солнца, эквивалентный азимуту, на который показывает гномон:

$$\cos A = -\frac{\sin \delta}{\cos \varphi} = > A \approx -20.5^{\circ}$$

Рассмотрим ещё один способ.

Опустим из точки перпендикуляр вниз. Все точки на этой прямой – это позиции конца тени гномона в моменты, когда Солнце имеет один и тот же азимут. Возьмём любую точку на этой прямой и определим её часовой угол и и склонение. Для простоты можно взять точку, отмеченную на рисунке. Для неё = 20∘ , = −7.5 ∘ . Теперь осталось написать сферические теоремы для параллактического треугольника. Начнём с того, что найдём зенитное расстояние Солнца в этот момент:

$$\cos z = \sin \delta \sin \varphi + \cos \delta \cos \varphi \cos t.$$

Отсюда получаем = 21.5 ∘ . Теперь через теорему синусов:

$$\frac{\sin 180 - A}{\sin 90 - \delta} = \frac{\sin t}{\sin z}.$$

В итоге получаем угол, на который сдвинута стена относительно линии «восток – запад»:

$$A \approx -19.6^{\circ}$$ .

Популярная ошибка. Участники считают, что угол между лучом BA и отвесной линией являются углом поворота стены. Это принципиально не верно.

$A \approx -19.6^{\circ}$