Для ответа на первый вопрос необходимо вспомнить формулу доплеровского смещения спектральных линий. Пусть $\lambda$ и $\lambda_0$ – наблюдаемая и лабораторная длины волн, v – радиальная скорость излучателя относительно наблюдателя, c –скорость света. Тогда изменение длины волны света из-за движения источника выражается формулой:

$$\frac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0} = \frac{v}{c}.$$

Но нам на спектре дана шкала частот, а не длин волн. Частота изучения связана с длиной волны как $\nu=c/\lambda$ . Тогда левая часть формулы для эффекта Доплера принимает вид

$$\frac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0} = \frac{\frac{c}{\nu} - \frac{c}{\nu_0}}{\frac{c}{\nu_0}} = \frac{\nu_0 - \nu}{\nu}.$$

Отсюда получаем зависимость $\nu_0$ от $\nu$ и v:

$$\nu_0 = \left(1 + \frac{v}{c}\right)\nu.$$

Определив на спектре пару значений $\nu$ и v, получим $\nu_0=1612.23$ МГц. Разумеется, измерений следует сделать несколько, а результат усреднить.

Альтернативный вариант. Можно заметить, что на графике равным изменениям скорости соответствуют равные изменения частоты. Это следует из формулы эффекта Доплера:

$$\Delta \nu = \nu_2 - \nu_1 = \frac{\nu_0}{1 + \frac{v_2}{c}} - \frac{\nu_0}{1 + \frac{v_1}{c}} \approx \nu_0 \left( 1 - \frac{v_2}{c} \right) - \nu_0 \left( 1 - \frac{v_1}{c} \right) = -\frac{\Delta v}{c} \nu_0.$$

Таким образом, достаточно аккуратно определить разность частот, соответствующую изменению скорости на фиксированную величину, и с ее помощью вычислить частоту, соответствующую нулевой скорости. Разумеется, результат при этом получается такой же: $\nu_0=1612.23~{\rm M}\Gamma_{\rm H}.$

Обратим внимание на зависимость потока излучения для «красной» и «синей» компонент. Изменения повторяют друг друга, но «красная» компонента запаздывает по отношению к «синей» примерно на 60 дней. Почему так происходит? Источником энергии для мазеров является излучение звезды. Звезды-гиганты на поздних стадиях эволюции обычно переменные, и изменения в яркости звезды сказываются на яркости мазеров в окружающей звезду оболочке. Поскольку оболочка сферическая, мощность излучения изменяется у всех мазеров одновременно, а видимая нами задержка возникает из-за конечности скорости света и громадной величины оболочки. Следовательно, диаметр области мазерного излучения равен 60 световых дней или

$$D=60\,\mathrm{cb}$$ . дней = $60\cdot86\,400\,\,\mathrm{c}\cdot300\,000\,\,\mathrm{km/c}\approx1.56\cdot10^{12}\,\,\mathrm{km}\approx10\,400$ а. е.,

а ее радиус $R \approx 5200$ a. e.

Из рисунка (c) можем определить, что угловой радиус области мазерного излучения составляет $\rho'' = 1.3'' - 1.4''$ . Тогда расстояние до исследуемой области равно

$$r = \frac{R}{\rho''} = \frac{5200 \text{ a. e.}}{1.3''} = 4000 \text{ пк} = 4 \text{ кпк}.$$

Для значения ′′ = 1.4 ′′ мы получили бы = 3.7 кпк.

Расстояние до звезды составляет около 4 килопарсек. Это расстояние меньше, чем средний радиус нашей галактики 16 кпк, поэтому мы точно можем сказать, это объект принадлежит нашей Галактике. Разумеется, в Солнечной системе нет звезд-гигантов, поэтому ей этот объект принадлежать не может.

Замечание 1. Ответить на последний вопрос с большой степенью уверенности можно, не вычисляя расстояние. Судя по графикам, скорость звезды составляет около 55 км/с, что соответствует характерным относительным скоростям в диске нашей Галактики. Скорости галактик составляют обычно сотни и даже тысячи километров в секунду, хотя, конечно, нельзя на сто процентов утверждать, что не найдется близкая галактика, в которой объект движется с подходящей скоростью.

Разумно также заметить, что для внегалактических источников, «подсвечиваемых» излучением звезды, угловой размер ∼ 2 ′′ слишком велик.

Замечание 2. По условию, наблюдаемое излучение формируется в тонкой оболочке, окружающей звезду. Оболочка вместе со звездой движется относительно наблюдателя и вместе с тем удаляется во все стороны от звезды. Тогда разность скоростей приближающейся и удаляющейся от нас компонент спектра равна удвоенной скорости расширения. Измерения можно провести как по спектру, так и по зависимости углового расстояния от лучевой скорости. Искомое значение равно 11 − 11.5 км/с.

Типичная ошибка заключается в попытке оценить размер области излучения по характерной скорости расширения оболочки и периоду «колебаний» яркости звезды ( ≈ 1500 сут. между двумя максимумами интенсивности). В таком случае радиус области (некорректно) оценивается как ≈ 10 а. е., откуда расстояние до мазера ∼ 6 пк.

Лишь немногие участники, получив такую величину расстояния, сочли необходимым заметить, что в ближайших по галактическим меркам окрестностях Солнечной системы подобные звёзды-гиганты на поздних стадиях эволюции, к счастью, отсутствуют.

Замечание 3. В обозначении области (OH127.8+0.0) зашифрованы её галактические долгота и широта.

Объект находится точно в диске Галактики. Возможно проявить находчивость и смекалку и по известным галактической долготе и лучевой скорости источника ( ≈ −55 км/с) грубо оценить его галактоцентрическое и гелиоцентрическое расстояние. Результат при таком подходе получается довольно адекватным.