Найдем расстояние до галактики. Поскольку z = 0.033 ≪ 1, то расстояние выражается как r = c·z H , где c — скорость света, H — постоянная Хаббла. Получаем

$$r=\frac{c\cdot z}{H}=\frac{3\cdot 10^5\ {\rm km/c}\cdot 0.033}{7\cdot 10^1\ {\rm km/c/Mpk}}=1.4\cdot 10^2\ {\rm Mpk}.$$

Теперь определим скорость движения джета в картинной плоскости. Для этого надо выбрать один (а лучше — несколько) «узел» джета: область повышенной яркости, движение которой можно проследить по картам. Определенности ради займемся узлом, который на первой карте находится на отметке по оси абсцисс 5.6. Его положение прослеживается на всех картах, на последней он оказывается на отметке 7.6. Измерив линейкой его расстояние от положения ядра, получаем, что за 0.86 года он переместился на расстояние 2.1 · 10−3 секунды дуги, то есть движется с угловой скоростью около 2.4 · 10−3 угловой секунды в год.

Более точно соответствующее измерение можно выполнить, если заметить, что смещение карты по вертикали пропорционально разности времен получения каждой очередной карты по сравнению с первой. Тогда можно провести прямые, соединяющие положения одного и того же узла джета (пример для двух узлов приведен на следующей странице) и по наклону прямой получить компоненту скорости перемещения узла вдоль оси абсцисс. При этом для разных узлов наклоны будут получаться немного разными — скорости движения узлов несколько различаются.

Поскольку на расстоянии 1 пк угловая скорость 1 ′′/год соответствует линейной скорости 1 а.е./год = 4.74 км/с, наблюдаемая скорость движения джета u оказывается равной

$$u = 1.4 \cdot 10^8 \cdot 2.4 \cdot 10^{-3} \cdot 4.74 \text{ km/c} = 1.6 \cdot 10^6 \text{ km/c} = 5.3 c$$

где c — скорость света. И, поскольку мы таким образом наблюдаем проекцию скорости джета на картинную плоскость, то можно подумать, что полная скорость джета должна оказаться еще больше. Результат на первый взгляд кажется нелепым, однако ничего ненормального в нем нет, определенная таким образом скорость вполне может превышать скорость света.

Построим модель наблюдаемого нами явления. Пусть активное ядро галактики находится на расстоянии r от наблюдателя, узел джета движется под углом θ к направлению к наблюдателю с пространственной скоростью v. В некоторый момент времени t наблюдатель наблюдает узел на угловом расстоянии φ = φ(t) от ядра. Тогда угловая скорость, с которой узел перемещается по небесной сфере, может быть вычислена как ω = dφ dt , причем полученная нами скорость u = r · ω.

Пусть узел стартует из ядра в момент времени t˜= 0. К некоторому t˜ он пройдет расстояние l = vt˜. Однако информация об этом попадает к наблюдателю не бесконечно быстро, а со скоростью света, поэтому доберется до наблюдателя в момент времени t, равный (с учетом того, что φ ≪ 1)

$$t \approx \tilde{t} + \frac{r - l \cdot \cos \theta}{c} = \tilde{t} + \frac{r - v\tilde{t} \cdot \cos \theta}{c}.$$

Угол φ при этом будет меняться со временем как

$$\varphi \approx \operatorname{tg} \varphi = \frac{l \cdot \sin \theta}{r} = \frac{v\tilde{t} \cdot \sin \theta}{r}.$$

Вычислим

$$\omega = \frac{d\varphi}{dt} = \frac{d\varphi}{d\tilde{t}} \cdot \frac{d\tilde{t}}{dt} = \frac{d\varphi}{d\tilde{t}} \cdot \left(\frac{dt}{d\tilde{t}}\right)^{-1} = \frac{v\sin\theta}{r} \cdot \frac{1}{1 - v/c \cdot \cos\theta}.$$

Отсюда наблюдаемая скорость u равна

$$u = \frac{v \sin \theta}{1 - \frac{v}{c} \cdot \cos \theta}.\tag{5}$$

Отметим, что несмотря на формально возникающие «сверхсветовые» скорости, никакие формулы из специальной теории относительности тут не требуются. Они возникают при необходимости перехода из одной инерциальной системы отсчета в другую, движущуюся с достаточно большой скоростью по отношению к первой, а в данном случае ничего подобного не имеется: все рассмотрение происходит в одной системе отсчета. Единственным исключением из этого утверждения (впрочем, даже в этом случае не требующим учета эффектов СТО) может быть вопрос о возможной аберрационной поправке к углу $\theta$ , однако несложно заметить, что она меньше точности, с которой этот угол задан в условии.

Поэтому вернемся к вычислениям. Поскольку мы знаем из условия, что $\theta=15^\circ$ , нам осталось выразить v. Будем измерять все скорости в скоростях света, тогда $c=1,\,u\approx5.3$ . Выражая v из (5) и вычисляя требуемую в условии величину 1-v, получаем

$$1 - v = 1 - \frac{u}{\sin \theta + u \cos \theta} \approx 1.4 \cdot 10^{-2}.$$

Осталось добавить, что «прототипом» объекта и источником радиокарт послужила галактика Маркарян 1506, известная также как 3C 120, параметры которой были немного изменены.

$$1 - v = 1 - \frac{u}{\sin \theta + u \cos \theta} \approx 1.4 \cdot 10^{-2}.$$