Азимут центра радуги можно определить как среднее арифметическое азимутов точек пересечения радугой горизонта. Получается значение 90 градусов. В центре круга радуги находится противосолнечная точка, которая, следовательно, находится на первом вертикале. Значение азимута в 90 градусов говорит нам про направление на запад, значит, Солнце находится на первом вертикале над или под точкой востока. Угловой радиус радуги – 42 градуса.

Нарисуем схему, поясняющую происходящее в задаче.

Рис. 1: Плоское приближение. Вид на запад. Вариант 1.

Из плоского приближения по построению определяем, на какой высоте ℎ⊙ находится центр

Рис. 2: Вариант 2. Антисолнечная точка находится под горизонтом

радуги:

$$h_{\odot} = \sqrt{42^2 - 39^2} = 15.6^{\circ}$$

Сразу стоит отметить, что из двух описанных выше вариантов остается только один. Солнце должно быть над горизонтом, а противосолнечная точка – под горизонтом, поскольку, если Солнце находится под горизонтом на высоте −15.6 ∘ , в месте наблюдения уже наступили астрономические сумерки, и радугу не будет видно.

Теперь определим значение склонения Солнца 1 октября. Снова воспользуемся плоским приближением, только теперь для окрестностей точки пересечения небесного экватора и эклиптики. С момента осеннего равноденствия прошло 31 − 23 = 8 дней. За это время Солнце сместилось по эклиптике на угол :

$$l = \frac{360}{365}N = \frac{360}{365} \cdot 8 = 7.9^{\circ 1}$$

Поскольку дело происходит вблизи точки равноденствия, можем воспользоваться формулой

$$\delta = -l \cdot \sin \varepsilon = -3.15^{\circ}$$

1Решение с ответом 8 градусов засчитывается в полном объеме

Знак «минус» возникает, поскольку после осеннего равноденствия склонение Солнца становится отрицательным.

Участник мог определить склонение Солнца, воспользовавшись формулами сферической тригонометрии:

$$\sin \delta = -\sin \varepsilon \cdot \sin l = -3.15^{\circ}$$

Если участник верно воспользовался этими формулами и получил правильный ответ, то этот блок решения засчитывается полностью. В случае ошибки в записи формулы или в вычислениях данный пункт не засчитывается.

Следующий шаг – определим широту места наблюдения. Снова воспользуемся плоским приближением. Нарисуем горизонт в окрестностях точки востока. Стоит сразу отметить, что широта места наблюдения отрицательная (южная), поскольку в северном полушарии 1 октября Солнце было бы под точкой востока, а не над ней.

Рис. 3: Плоское приближение. Определение широты и часового угла.

На рисунке горизонтальная линия – это горизонт, точка – точка востока, точка – положение Солнца. Наклонная линия, проходящая через точку востока () – небесный экватор, отрезок – высота Солнца, отрезок – модуль склонения Солнца. Из рисунка следует, что

$$\sin\varphi = \frac{3.15^\circ}{15.6^\circ} \qquad \rightarrow \qquad \varphi = 11.6^\circ \text{ ю.ш.}$$

Теперь перейдем к определению местного солнечного времени:

$$t^* = SA = \sqrt{15.6^2 - 3.15^2} = 15.3^\circ = 1^h 1^m 7^s$$

Здесь мы сразу перевели полученный угол из угловой меры во временную. Если бы Солнце находилось в точке , часовой угол был бы равен −6 ℎ , и местное время было бы = 12ℎ−6 ℎ . Но точка ближе к меридиану на угол * , поэтому местное солнечное время равно

$$T = 12^h - 6^h + t^* = 7^h 1^m 1^s. \approx 7^h 1^m$$

= 11.6 ∘ ю.ш., = 7ℎ1