№ 10.2Главный пояс астероидов
Общая масса главного пояса астероидов составляет 4% массы Луны. При этом десять самых массивных тел ГПА составляют около 55% от всей массы пояса. Предположим, что практически вся оставшаяся масса находится в астероидах, размер которых превышает 1 км. Средний радиус таких астероидов примем за 5 км. Считая, что все астероиды обращаются вокруг Солнца в одной плоскости и равномерно распределены внутри кольца с внутренним радиусом 2.1 а.е и внешним радиусом 3.3 а.е., определите характерное расстояние между такими астероидами.
Астероиды можно считать сферическими. Средняя плотность астероидов в главном поясе $\rho = 2\,500~{\rm kr/m}^3$ .
Решение
Сначала определим суммарную массу рассматриваемых астероидов. Она составляет 45% от массы всего главного пояса, которая в свою очередь, в 25 раз меньше массы Луны.
$$M = 0.45 \cdot 0.04 \cdot M_{\rm C} = 1.33 \cdot 10^{21} \; {\rm Kp}$$
Теперь оценим массу одного астероида:
$$M_1 = \rho \frac{4\pi}{3} R^3 = 2500 \text{ kg/m}^3 \frac{4\pi}{3} (5 \cdot 10^3 \text{ m})^3 = 1.3 \cdot 10^{15} \text{ kg}$$
Зная массу всех рассматриваемых астероидов и массу одного астероида, можно определить количество астероидов:
$$N = \frac{M}{M_1} = \frac{1.33 \cdot 10^{21}}{1.3 \cdot 10^{15}} = 10^6 \text{ штук}.$$
Теперь мы можем ответить на вопрос задачи, а именно оценить характерное расстояние между астероидами, если они распределены равномерно.
По условию задачи все астероиды находятся внутри кольца в одной плоскости, причем распределены в этом кольце равномерно. Тогда отношение площади всего кольца к числу астероидов даст нам площадь области кольца, «занятой» одним астероидом. Если мы посчитаем эту область кольцом, то диаметр этого кольца и будет являться характерным расстоянием между астероидами.
С одной стороны, площадь всего кольца астероидов равна
$$S = \pi R_{\text{BHeIII}}^2 - \pi R_{\text{BHYT}}^2 = \pi (3.3^2 - 2.1^2) = 20.35 \text{ a.e.}^2$$
С другой стороны,
$$S = N \cdot S_1 = N \frac{\pi}{4} D^2$$
где D – характерное расстояние между астероидами. Выразим величину D.
$$D = \sqrt{\frac{4S}{\pi N}}$$
Подставим значения:
$$D = \sqrt{\frac{4 \cdot 20.35 \text{ a.e.}^2}{\pi 10^6}} = 5.12 \cdot 10^{-3} \text{ a.e.}$$
Переведем из астрономических единиц в километры:
$$D = 5.12 \cdot 10^{-3} \cdot 150 \cdot 10^6$$ км $\approx 7.6 \cdot 10^5$ км.
Возможны также другие оценки формы этой области (например, можно взять ее квадратной, и принять за характерное расстояние длину стороны этого квадрата). Найдем значение расстояния для такой формы области:
$$S = N \cdot S_1 = ND_{sq}^2$$
где – характерное расстояние между астероидами. Выразим величину .
$$D_{sq} = \sqrt{\frac{S}{N}}$$
Подставим значения:
$$D_{sq} = \sqrt{\frac{20.35 \text{ a.e.}^2}{10^6}} = 4.51 \cdot 10^{-3} \text{ a.e.}$$
Переведем из астрономических единиц в километры:
$$D_{sq} = 4.51 \cdot 10^{-3} \cdot 150 \cdot 10^6 \text{ km} \approx 6.8 \cdot 10^5 \text{ km}.$$
Ответ
7.6 · 105 км или 6.8 · 105 км.