Точка, в которой произошел взрыв астероида и разлет двух осколков, является перицентром орбиты первого осколка и апоцентром орбиты второго осколка.

Рассмотрим осколок, который продолжил двигаться в том же направлении по орбите с большим периодом. После разлета этот осколок стал двигаться быстрее, а точка разлета стала перицентром его орбиты. Запишем скорость в перицентрe

$$V_p = \sqrt{\frac{GM}{a} \frac{1+e_1}{1-e_1}} = \sqrt{\frac{GM}{q} (1+e_1)} = V_0 \sqrt{1+e_1}$$

0 – это скорость осколка на начальной круговой орбите, а 1 – эксцентриситет орбиты, на которую перешел осколок.

Период новой орбиты стал в 2 раза больше, значит, полуось новой орбиты стала больше в 2 2/3 раза. Для исходной орбиты астероида удаление астероида от Солнца было равно полуоси его орбиты 0, а после разлета это же расстояние стало перицентрическим расстояним новой орбиты . Выразим отсюда 1.

$$a_0 = q = a_1(1 - e_1)$$ $\rightarrow$ $e_1 = 1 - \frac{a_0}{a_1} = 1 - 2^{-2/3} = 1 - k_1,$

здесь мы ввели обозначение 1 = 2−2/3 .

Теперь рассмотрим второй осколок. Он замедляется, следовательно, будет находится в апоцентре своей орбиты. Проведем аналогичные рассуждения.

$$V_a = \sqrt{\frac{GM}{a} \frac{1 - e_2}{1 + e_2}} = \sqrt{\frac{GM}{Q} (1 - e_2)} = V_0 \sqrt{1 - e_2}$$

$$a_0 = Q = a_2(1 + e_2)$$ $\rightarrow$ $e_2 = \frac{Q}{q_2} - 1 = 2^{2/3} - 1 = k_2 - 1$

здесь мы обозначили 2 = 22/3

Теперь запишем закон сохранения импульса. Мы можем это сделать в системе отчета центрального тела (Солнца), а можем перейти в систему отчета астероида, который распадается. Обозначим за 1 и 2 массы соответствующих осколков.

$$(m_1 + m_2) \cdot V_0 = m_1 V_p + m_2 V_a$$

$$m_1(V_0 - V_p) = -m_2(V_0 - V_a)$$

Избавимся от скоростей осколков в перицентре и апоцентре их орбит, выразив их через скорость астероида на круговой орбите и эксцентриситеты орбит осколков.

$$m_1 V_0(\sqrt{1+e_1}-1) = m_2 V_0(1-\sqrt{1-e_2})$$

Запишем выражение для отношения масс осколков:

$$\frac{m_1}{m_2} = \frac{1 - \sqrt{1 - e_2}}{\sqrt{1 + e_1} - 1}$$

Подставим $e_1$ и $e_2$ в записанное выражение:

$$\frac{m_1}{m_2} = \frac{1 - \sqrt{2 - k_2}}{\sqrt{2 - k_1} - 1} = \frac{1 - \sqrt{2 - 2^{2/3}}}{\sqrt{2 - 2^{-2/3}} - 1} = 2.1$$

Существует и второй вариант, который может реализоваться в этой задаче. Второй осколок может полететь по эллиптической орбите уже в обратную сторону. При этом его скорость будет направлена строго против направления скорости исходного астероида, поскольку первый осколок по условию сохраняет направление своего движения. Запишем закон сохранения импульса в этом случае.

$$(m_1 + m_2) \cdot V_0 = m_1 V_p - m_2 V_a$$

$$m_1(V_p - V_0) = m_2(V_0 + V_a)$$

$$m_1 V_0(\sqrt{1 + e_1} - 1) = m_2 V_0(1 + \sqrt{1 - e_2})$$

$$\frac{m_1}{m_2} = \frac{1 + \sqrt{2 - k_2}}{\sqrt{2 - k_1} - 1} = \frac{1 + \sqrt{2 - 2^{2/3}}}{\sqrt{2 - 2^{-2/3}} - 1} = 9.63$$

Отношение масс осколков – 2.1 или 9.6