Рассмотрим разрешающую способность нашей оптической системы. Она зависит от диаметра объектива телескопа, от качества атмосферы и от разрешающей способности глаза.

Дифракционный предел телескопа

$$\theta_1 = \frac{1.22\lambda}{D} = 0.7'',$$

и это меньше, чем угловое разделение между звездами, поэтому двойная система в принципе может быть разрешена, то есть наблюдатель теоретически сможет увидеть две компоненты по отдельности.

Атмосферным размытием мы пренебрегаем по условию задачи.

Третий действующий фактор – разрешающая способность глаза и увеличение телескопа:

$$\theta_3 = \frac{60''}{\Gamma}$$

Угловое разделение между компонентами составляет 1.0 ′′, что заметно больше дифракционного предела объектива. Рассмотрим вариант расчёта, при котором самая худшая разрешающая способность определяет разрешаюшую способность всей системы:

$$1.0'' = \frac{60''}{\Gamma_0}$$

отсюда получаем коэффициент увеличения Γ0 = 60 крат. При увеличении, большем, чем 60, система видна как две отдельные звезды; при увеличении меньше Γ0 наблюдатель будет видеть двойную звезду единым объектом.

Теперь рассмотрим проницающую способность телескопа. С одной стороны, при увеличении, большем, чем равнозрачковое, проницающая способность определяется только диаметром телескопа:

$$m_T = 6^m + 5 \lg \frac{D}{d_{\Gamma JI}} = 6^m + 5 \lg \frac{200}{6} = 13.6^m.$$

В случае, если увеличение меньше, чем равнозрачковое

$$m_{T1} = 6^m + 5 \lg \Gamma.$$

Равнозрачковое увеличение для данного телескопа

$$\Gamma_R = \frac{F}{f} = \frac{D}{d_{\Gamma \Pi}} = \frac{200}{6} = 33^x.$$

По условию задачи, двойная система состоит из двух одинаковых звезд, а ее суммарный блеск равен 13.5 . Отметим, что суммарная звездная величина близка к предельной проницающей способности телескопа, но визуально систему в целом наблюдателю будет видно.

В случае, если наблюдатель сможет разрешить систему, для него звездная величина каждой компоненты будет равна

$$m_{1,2} = 13.6 + 2.5 \lg 2 = 14.35^m.$$

Это больше, чем предельная проницающая способность телескопа. Отсюда делаем вывод, что при увеличении, большем Γ0, наблюдатель не увидит ни звезду целиком, ни отдельные компоненты. Получаем ограничение на увеличение «сверху».

Определим нижнюю границу доступных нам увеличений оптической системы. При уменьшении коэффициента увеличения от величины Γ0 = 60 до величины Γ = 33 ситуация не будет меняться. Действительно, проницающая способность определяется только диаметром объектива (который постоянен), а в этих условиях двойная система видна как одна звезда.

При коэффициенте увеличения, меньшем, чем Γ, проницающая способность будет равна

$$m_{T1} = 6^m + 5 \lg \Gamma.$$

Подставим суммарную звездную величину двойной звезды и определим нижнюю границу доступных увеличений:

$$13.5 = 6 + 5\lg\Gamma$$

Отсюда нижний предел коэффициента увеличения равен Γ = 32 крат.

[32; 60]

Примечание. Участник может решать задачу в более сложной модели. Можно учитывать разрешающую способность телескопа, как независимый источник погрешности наблюдений, тогда разрешающие способности объектива, атмосферы и глаза складываются как независимые ошибки, то есть квадратично:

$$\theta_{\sum} = \sqrt{\theta_1^2 + \theta_a^2 + \theta_3^2}$$

Влиянием атмосферы по условию задачи мы пренебрегаем, тогда

$$\theta_{\sum} = \sqrt{\theta_1^2 + \theta_3^2},$$

и условие на максимальное увеличение, при котором система способна разрешаться глазом, будет выглядеть следующим образом:

$$\theta_a = \sqrt{\theta_{\Sigma}^2 - \theta_1^2} = \frac{60''}{\Gamma_0}$$

Отсюда

$$\Gamma_0 = \frac{60''}{\sqrt{\theta_{\Sigma}^2 - \theta_1^2}} = \frac{60''}{\sqrt{1^2 - 0.7^2}} = 84$$

Оба варианта решения являются корректными и оцениваются в полном объеме.

Финальный ответ [32; 60] или [32; 84]