Сначала разберемся, какие данные могут быть получены из анализа кадра. На изображении есть Солнце, есть карликовая планета, у которой виден серп. Напомним, что изображение негативное, то есть наиболее темные области кадра являются наиболее яркими или освещенными в реальности.

Определим центр карликовой планеты на изображении. Это можно сделать несколькими альтернативными способами – например, можно провести две хорды окружности и построить их серединные перпендикуляры, тогда пересечение этих перпендикуляров определит положение центра окружности. Для повышения точности построений рекомендуется, чтобы таких перпендикуляров было три или больше.

Альтернативный метод – построить две параллельные хорды, тогда линия, соединяющая середины этих хорд, будет проходить через центр окружности или эллипса. Если использовать 3 семейства параллельных хорд, то можно определить центр с достаточно хорошей точностью.

Преимущество второго метода в том, что для него не нужно построение перпендикуляра с использованием циркуля.

Существует и третий метод — можно провести линию через края «рожек» серпа. Если мы видим весь серп целиком, то эта линия будет диаметром и будет проходить через центр планеты. Однако, у этого метода есть ограничения. Если наблюдатель находится слишком близко к объекту, то не весь серп может быть виден, и тогда метод не сработает. Но в данном случае точность определения центра этим методом будет вполне приемлемая. Впрочем, это связано это с тем, что мы работаем с художественным изображением.

Рис. 5: Построение двух семейств параллельных хорд. Нахождение центра окружности.

Теперь проведем линию, соединяющую центр Солнца (точка ) и центр карликовой планеты (точка ). Построение показано на рис. 6.

Эта линия пересекает освещенный серп планеты. В направлении на Солнце видимая толщина серпа будет максимальной, и, измерив толщину серпа, можно получить значение фазы планеты.

Линейная фаза объекта рассчитывается как доля освещенного диаметра

$$\Phi = \frac{l}{D} = \frac{3.5 \text{ mm}}{54 \text{ mm}} = 0.065^2$$

2Поскольку величина видимой освещенной стороны мала, то у участников могу быть близкие, но другие численные значения

Рис. 6: Изображение к задаче

Зная фазу объекта, мы можем получить значения фазового угла – угла треугольника «Солнце – Объект – Наблюдатель» c вершиной в Объекте:

$$\Phi = \frac{1 + \cos \varphi}{2}$$

$$\cos \varphi = 2\Phi - 1 \qquad \to \qquad \varphi = 150^{\circ}$$

Обратим внимание, что фазовый угол в данном случае является тупым, то есть больше, чем 90∘ . Поскольку Солнце находится крайне далеко от объекта и наблюдателя, в рассматриваемом треугольнике «Солнце – Объект – Наблюдатель» величина угла с вершиной в Солнце крайне мала, и при суммировании этим углом можно пренебречь. Следовательно, можно найти угловое расстояние между Солнцем и центром карликовой планеты с точки зрения наблюдателя. Обозначим этот угол

$$l = 180^{\circ} - \varphi = 30^{\circ}$$

Теперь у нас есть ключ к определению масштаба изображения в угловой мере – мы можем сравнить расстояние и расстояние , и получить угловой размер Эриды.

Измеряем при помощи линейки указанные величины. Расстояние = 88 мм, = 27 мм (у участников могут получиться другие значения; это определяется форматом печати заданий).

Тогда угловой радиус карликовой планеты

$$\rho = \frac{27}{88} \cdot 30^\circ = 9^\circ$$

А зная линейный и угловые радиусы можно определить расстояния до объекта:

$$\sin \rho = \frac{R}{L}$$ $\rightarrow$ $L = \frac{R}{\sin \rho} = \frac{1150}{\sin(9^\circ)} = 7300$ км

L = 7300 км