Поскольку частицы диска движутся вокруг черной дыры с круговой скоростью

$$v^2 = \frac{GM}{R},$$

то масса центральной черной дыры будет равна

$$M = \frac{v^2 R}{G}.$$

Так как требуется найти массу в массах Солнца — M⊙, то удобнее воспользоваться естественными для этой задачи единицами измерения: M⊙, а.е., год. В этих единицах

G = 4π 2 а.е.3 год−2 M−1 ⊙ (в чем несложно убедиться, записав III закон Кеплера для системы «Солнце–Земля») и

$$M[M_{\odot}] = \frac{1}{4\pi^2} \cdot v^2 [\text{a.e./roд}] \cdot R[\text{a.e.}].$$

Нам нужно найти радиус диска R и скорость вращения его частиц на этом радиусе v. Скорость определим по спектру в левой части рисунка. По условию длины волн линий λ1 и λ2 соответствуют экстремальным отклонениям лучевой скорости от среднего значения и луч зрения лежит в плоскости диска. Это означает, что мы наблюдаем один край диска, приближающийся к нам с круговой скоростью, а другой — удаляющийся с такой же скоростью (и при этом весь диск как целое также движется относительно нас). Тогда круговой скорости диска будет соответствовать смещение одной из линий, например ∆z2, относительно средней длины волны (λ1 + λ2)/2.

$$v = c \Delta z_2 = c \frac{\lambda_2 - (\lambda_1 + \lambda_2)/2}{(\lambda_1 + \lambda_2)/2} = c \frac{\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}.$$

Если произвести аналогичную выкладку для ∆z1, получится, естественно, такой же по модулю, но отрицательный результат.

По спектру находим λ1 = 5030 ˚A и λ1 = 5047 ˚A. Скорость света в единицах а.е./год равна

$$c = 2\pi \cdot \frac{3 \cdot 10^5 \; \text{км/c}}{30 \; \text{км/c}} = 6.3 \cdot 10^4 \; \text{a.e./год}$$

(поскольку Земля с орбитальной скоростью 30 км/с проходит за год 2π а.е.). Вычисляем круговую скорость для диска:

$$v = 6.3 \cdot 10^4 \cdot \frac{5047 - 5030}{5047 + 5030} \approx 106 \text{ a.e./год.}$$

Угловой радиус диска найдем по правой части рисунка. Определим масштаб изображения. Сторона квадрата равна 83 мм, значит в одном миллиметре 5/83 ≈ 0 ′′ .06. Расстояние между областями, для которых получены спектры, на снимке равно 11 мм, следовательно угловое расстояние между ними на небе равно 0 ′′ .66. угловой радиус диска равен половине расстояния между его диаметрально противоположными точками, т.е. 0 ′′ .33.

Для того, чтобы получить радиус в линейных единицах, нужно знать расстояние до галактики. Его можно получить, зная красное смещение z. Так как по условию пекулярная скорость галактики нулевая, то скорость центра диска обусловлена только космологическим расширением, а соответствующее ей красное смещение подчиняется закону Хаббла:

$$cz = Hr,$$

где c — скорость света в км/с, H ≈ 70 км/с/Мпк — постоянная Хаббла, r — искомое расстояние в Мпк.

Так как линии в спектре расположены симметрично, то средняя длина волны будет соответствовать положению линии в центре диска. Красное смещение этой средней и будет общим космологическим красным смещением галактики. Среднее арифметическое длин волн линий в спектре равно λ = 5038.5 ˚A, а лабораторная длина волны λ = 5007 ˚A. Следовательно, красное смещение галактики

$$z = \frac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0} = \frac{5038.5 - 5007}{5007} \approx 0.0063.$$

Отсюда находим расстояние до нее:

$$r = \frac{cz}{H} = \frac{3 \cdot 10^5 \cdot 0.0063}{70} \approx 27 \text{ Мик} = 27 \cdot 10^6 \text{ ик.}$$

Как известно, 1 а.е. с расстояния в 1 пк видна под углом в 1 ′′, следовательно, 0 ′′ .33, видимым с расстояния в 1 пк, соответствуют 0.33 а.е., а с расстояния в 27 · 106 пк — 0.33 · 27 · 106 = 8.9 · 106 а.е. Это и есть искомый радиус диска.

Окончательно находим массу черной дыры:

$$M = \frac{1}{4\pi^2} v^2 \cdot R = \frac{1}{4\pi^2} \cdot 8.9 \cdot 10^6 \cdot (106)^2 = 2.5 \cdot 10^9 M_{\odot}.$$

Отметим также, что все промежуточные вычисления можно выполнять и в любой другой системе единиц (в том числе в СИ), а затем перевести в массы Солнца, итоговый результат от этого, естественно, не поменяется.

$M = \frac{1}{4\pi^2} v^2 \cdot R = \frac{1}{4\pi^2} \cdot 8.9 \cdot 10^6 \cdot (106)^2 = 2.5 \cdot 10^9 M_{\odot}$.