№ 9.2Задача 9.2
В школе юных навигаторов два друга обсуждали свои экзаменационные космические полеты. Каждый из них должен стартовать с Земли, посетить поочередно две звезды и вернуться на Землю. Вася выбрал две звезды видимой звездной величины $4^m$ , а Петя — звезды $3^m$ и $5^m$ . Известно, что угловое расстояние между каждой парой звезд на небесной сфере составляет $90^\circ$ . Все четыре звезды имеют одинаковую светимость, а тренировочные космолеты — одинаковую скорость. Определите, чей маршрут окажется короче и во сколько раз. Межзвездным поглощением света пренебречь.
Решение
Маршрут космолета представляет собой прямоугольный треугольник с вершинами на Земле и двух выбранных звездах. Длина всего пути равна сумме сторон этого треугольника.
Поскольку светимости звезд одинаковые, различие в их звездных величинах кроется только в разных расстояниях до них. По определению разница в одну звездную величину соответствует отношению освещенностей $10^{0.4}\approx 2.512$ . Освещенность, создаваемая звездой, обратно пропорциональна квадрату расстояния до звезды. Пусть $l_4$ — расстояние от Земли до звезды с видимой звездной величиной $4^m$ . Тогда расстояние до звезды $5^m$ равно
$$l_5 = \sqrt{10^{0.4}} l_4 = 10^{0.2} l_4,$$
а до звезды $3^m$ —
$$l_3 = 10^{-0.2} l_4.$$
Рассмотрим маршрут Васи (см. рисунок). Его длина составляет
$$L_1 = l_4 + l_4 + \sqrt{2}l_4 = (2 + \sqrt{2})l_4.$$
На маршруте Пети один катет равен $l_5$ , второй — $l_3$ , а гипотенуза — $\sqrt{l_5^2 + l_3^2}$ . Тогда длина всего петиного маршрута
$$L_2 = l_5 + l_3 + \sqrt{l_5^2 + l_3^2} = 10^{0.2}l_4 + 10^{-0.2}l_4 + \sqrt{10^{0.4}l_4^2 + 10^{-0.4}l_4^2} = l_4 \left(10^{0.2} + 10^{-0.2} + \sqrt{10^{0.4} + 10^{-0.4}}\right).$$
Вычислим отношение длин двух маршрутов:
$$\frac{L_2}{L_1} = \frac{10^{0.2} + 10^{-0.2} + \sqrt{10^{0.4} + 10^{-0.4}}}{2 + \sqrt{2}} \approx 1.15.$$
Ответ
Маршрут Васи короче примерно в 1.15 раза.