К галилеевым спутникам относятся Ио, Европа, Ганимед и Каллисто, поэтому остальные спутники можно не рассматривать. Из них Ио — ближайшая к планете, поэтому с нее невозможно наблюдать прохождение других галилеевых спутников по диску Юпитера. Орбиты галилеевых спутников почти точно лежат в плоскости экватора Юпитера, поэтому все прохождения можно считать центральными. Продолжительность прохождения зависит от относительной скорости спутника и углового размера планеты. Чем меньше относительная скорость (что соответствует большему синодическому периоду), тем дольше длится явление. Поэтому имеет смысл рассматривать только пары соседних спутников: Ио при наблюдении с Европы, Европу — с Ганимеда и Ганимеда — с Каллисто.

Обозначим внешний спутник цифрой 2, а внутренний — цифрой 1. Зная радиус орбиты спутника 2 и радиус Юпитера X, можно определить его угловой диаметр для наблюдателя:

X = 2 arcsin X 2 ≈ 57.3 · 2X 2 .

Здесь 57.3 — число градусов в радиане. Также мы воспользовались малостью угла , поскольку X как минимум в 10 раз меньше радиусов орбит интересующих нас спутников.

Прохождение продолжается от момента, когда передний край спутника появляется на диске Юпитера до момента, когда спутник целиком сходит с диска планеты. За это время центр спутника проходит угол, больший X на величину его углового диаметра 1. Пренебрегая изменением расстояния до спутника во время прохождения, получим:

$$\delta_1 = 57.3 \cdot \frac{2R_1}{a_2 - a_1}.$$

Здесь 1 — радиус внутреннего спутника. Тогда полное угловое расстояние, которое должен пройти внутренний спутник, равно = X + 1.

Дальше можно решать задачу несколькими способами.

Вариант 1. Найдем длину дуги орбиты, которую проходит внутренний спутник во время покрытия, в градусах (). Очевидно, что < . Тогда, учитывая, что они опираются на одну хорду, сразу получаем ответ:

$$(a_2 - a_1) \cdot \delta = a_1 \cdot \gamma \quad \Rightarrow \quad \gamma = \frac{a_2 - a_1}{a_1} \cdot \delta.$$

Зная массу Юпитера X и радиус орбиты спутника , можно с помощью третьего закона Кеплера определить его сидерический период обращения:

$$T_{1,2} = 2\pi \sqrt{\frac{a_{1,2}^3}{GM_{1}}}.$$

Синодический период двух соседних спутников можно найти с помощью уравнения синодического движения:

$$\frac{1}{S} = \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \quad \Rightarrow \quad S = \frac{T_1 T_2}{T_2 - T_1}.$$

Выберем систему отсчета, в которой спутник 1 и центр Юпитера покоятся. Тогда время, за которое внутренний спутник проходит дугу орбиты , равно

$$t = S \frac{\gamma}{360^{\circ}}.$$

Вариант 2. Спутники движутся вокруг Юпитера с первыми космическими скоростями:

$$v_{1,2} = \sqrt{\frac{GM_{7+}}{a_{1,2}}}.$$

Перейдем в систему отсчета, вращающуюся вокруг Юпитера с угловой скоростью 2 = 2/2. Тогда переносная скорость спутника 1 в момент прохождения составит

$$v_{1,\text{nep}} = \omega_2 \cdot a_1 = \frac{a_1}{a_2} v_2,$$

а скорость спутника 1 относительно спутника 2 составит

$$v_{1,\text{отн}} = v_1 - v_{1,\text{пер}} = v_1 - \frac{a_1}{a_2} v_2 = \frac{v_1 a_2 - v_2 a_1}{a_2}.$$

Угловая скорость спутника 1 во время прохождения равна

$$\Omega = \frac{v_{1,\text{отн}}}{a_2 - a_1} = \frac{v_1 a_2 - v_2 a_1}{a_2 (a_2 - a_1)}.$$

Тогда время прохождения равно

$$t_2 = \frac{\delta}{\Omega}.$$

Вариант 3. Перейдем в систему отсчета, в которой спутник 2 (где находится наблюдатель) неподвижен, а Юпитер движется относительно него со скоростью $v_2$ . Тогда в момент прохождения скорость спутника 1 относительно 2 будет равна $u_1 = v_1 - v_2$ . Угловые скорости спутника 1 и Юпитера составят соответственно

$$\Omega_1 = \frac{u_1}{a_2 - a_1} = \frac{v_1 - v_2}{a_2 - a_1}$$ и $\Omega_{7+} = \frac{v_2}{a_2}$ .

С точки зрения наблюдателя Юпитер и спутник движутся в противоположные стороны. Тогда угловая скорость спутника 1 относительно Юпитера

$$\Omega = \Omega_1 + \Omega_{\uparrow} = \frac{v_1 - v_2}{a_2 - a_1} + \frac{v_2}{a_2} = \frac{v_1 a_2 - v_2 a_1}{a_2 (a_2 - a_1)}.$$

Мы получили такую же формулу для угловой скорости, как и в предыдущем варианте.

Теперь проведем вычисления, а результаты запишем в таблицы.

Спутник	T, сут	v, km/c
Ио	1.77	17.3
Европа	3.55	13.7
Ганимед	7.15	10.9
Каллисто	16.7	8.20

	$\delta_4$ , °	$\delta_1$ , °	$\delta$ , °	$\gamma,{}^{\circ}$	S, сут	t , ч
Европа — Ио	12.2	0.84	13.0	7.71	3.53	1.8
Ганимед — Европа	7.65	0.45	8.10	4.82	7.05	2.3
Каллисто — Ганимед	4.35	0.37	4.72	3.58	12.5	3.0

		$v_{1,\text{отн}}$		$\Omega_{7}$	$\Omega_1$	Ω	$t_2$
	км/с	км/с	км/с	$c^{-1}$	$c^{-1}$	$^{\circ}/\mathrm{c}$	Ч
Европа — Ио	8.64	8.70	3.59	$2.05\times10^{-5}$	$1.44\times10^{-5}$	0.00200	1.8
Ганимед — Европа	6.82	6.92	2.86	$1.02\times10^{-5}$	$7.16 \times 10^{-6}$	0.00099	2.3
Каллисто — Ганимед	4.66	6.22	2.68	$4.36 \times 10^{-6}$	$3.29 \times 10^{-6}$	0.00044	3.0

Дольше всего наблюдается прохождение Ганимеда при наблюдении с Каллисто — 3 часа.

Дольше всего наблюдается прохождение Ганимеда при наблюдении с Каллисто — 3 часа.